Gruppenringe und ihre Anwendung auf die Gruppe der

zyklotomischen Einheiten

(Diplomarbeit)

Angefertigt von Marc Conrad

nach einem Thema von Professor Dr. H. G. Zimmer am Fachbereich Mathematik der Universität des Saarlandes

Saarbrücken 1992

Eidesstattliche Erklärung

Hiermit erkläre ich an Eides Statt, daß ich die vorliegende Arbeit selbst angefertigt und nur die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt habe.

Saarbrücken, den

Mein besonderer Dank gilt Herrn Prof. Dr. Zimmer für die Vermittlung dieses interessanten Themas und für seine großzügige Unterstützung. Des weiteren möchte ich Herrn Prof. Dr. Hoechsmann danken für seine hilfreichen Anregungen und Gespräche, vor allem im Hinblick auf die Themensuche im Vorfeld dieser Arbeit, und Herrn Prof. Dr. Gekeler für seine nützlichen Kommentare zur Diplomarbeit selbst. Außerdem Danke an Hans Crauel und an meine Schwester Anne Conrad für ihre guten Ratschläge und Hilfestellungen, was Diplomarbeiten im allgemeinen und im besonderen betrifft, sowie an die Mitglieder der SIMATH-Gruppe für deren Unterstützung im “technischen” Bereich, insbesondere die Verwendung von L^{A}TEX, Unix und Apollo-Rechnern.

Marc Conrad

Contents

Einführung 3

1 Grundlagen 5

1.1 Gruppenringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Definitionen und Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3 Homomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.4 Einheiten in der Gruppenalgebra C G . . . . . . . . . . . 10 Satz 1 (Charakterisierung von Einheiten) . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.5 Die Augmentationsabbildung . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.6 Einige Bemerkungen über Einheiten im Gruppenring ZZG 14

1.2 Rechnen in zyklotomischen Körpern . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.1 Automorphismen in zyklotomischen Zahlkörpern . . . . . 14 1.2.2 Der Gruppenring der Automorphismen . . . . . . . . . . 15 1.2.3 Die P-Teiler einer natürlichen Zahl . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.4 Rechnen mit Einheitswurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.5 Elementare Relationen im Ring ZZ[ϵ_{n}] . . . . . . . . . . . 19

1.3 Das System der zyklotomischen Einheiten . . . . . . . . . . . . . 22 Satz 2 (Erzeugendensystem von C^{(n)}) . . . . . . . . . . . . . . . 25

2 Die Lemmata von Franz und Bass 27

2.1 Das Lemma von Franz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.1 Der Führer eines Charakters modulo n . . . . . . . . . . . 27 2.1.2 Gaußsche Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.3 Eine Darstellung der Dirichletschen L-Funktion im Punkte 1 31 2.1.4 Formulierung und Beweis des Lemmas von Franz . . . . . 33 Lemma von Franz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.5 Das Ideal ZZG_{n}^{+} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.6 Skizze einer Anwendung des Lemmas von Franz auf Grup-

penringe mit zyklischer Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . 36 Satz 3 (Injektivität von κ_{w}) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2 Das Lemma von Bass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2.1 Formulierung und Beweis des Lemmas von Bass . . . . . 40 Lemma von Bass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2.2 Weitere Bemerkungen zum Lemma von Bass . . . . . . . 44

3 Konstruktion von Basen in der Gruppe der zyklotomischen Einheiten 45 3.1 Das Einheitensystem von Ramachandra . . . . . . . . . . . . . . 46

Satz 4 (Unabhängigkeit der Ramachandra-Einheiten) . . . . . . . 47 3.2 Explizite Konstruktion einer Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2.1 Konstruktion einer Basis im Fall n = q . . . . . . . . . . . 50 Satz 5 (Basis im Fall n = q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2.2 Konstruktion einer Basis im Fall n = qr . . . . . . . . . . 50 Satz 6 (Basis im Fall n = qr) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2.3 Konstruktion einer Basis im Fall n = qrs . . . . . . . . . 53 Satz 7 (Basis im Fall n = qrs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.3.1 n = 27 = 3^{3} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.3.2 n = 32 = 2^{5} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.3.3 n = 35 = 5 · 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.3.4 n = 60 = 2^{2} · 3 · 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.3.5 Weitere Fälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Anhang A 71 Satz 8 (L(1, χ) ≠ 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Anhang B 80

Literaturverzeichnis 103

Einführung

Gruppenringe ZZG mit abelscher Gruppe G und zyklotomische Einheiten, das heißt Einheiten der Form 1 − ϵ_{n} mit einer n-ten Einheitswurzel ϵ_{n}, sind die beiden zentralen Themen dieser Arbeit. Die Untersuchung von Einheiten in diesen Gruppenringen führt in natürlicher Weise zu Fragestellungen, die zyklotomische Einheiten betreffen. Dies kommt in den Sätzen 1 und 3 zum Ausdruck. Andererseits wird es sich zeigen, daß es zum Rechnen innerhalb des Systems der zyklotomischen Einheiten nützlich ist, Gruppenringe zu benutzen. Diese Methodik, Gruppenringe für Beweise von Eigenschaften zyklotomischer Einheiten zu nutzen, schlägt sich besonders in den Beweisen zu Satz 2, dem Lemma von Bass und der Unabhängigkeit der Ramachandra-Einheiten (Satz 4) nieder. Im ersten Kapitel werden zunächst Gruppenringe eingeführt. Die elementaren Eigenschaften dieser Struktur werden in der Literatur meist nur kurz oder als Übungsaufgabe abgehandelt. Daher werden diese Eigenschaften hier etwas ausführlicher herausgearbeitet. Der Abschnitt schließt mit Satz 1, der für die Gruppenalgebra CG (mit einer endlichen abelsche Gruppe G) die Einheiten und Nullteiler charakterisiert. Des weiteren werden im ersten Kapitel zyklotomische Einheiten eingeführt. Es wird dabei als bekannt vorausgesetzt, daß die Automorphismengruppe des nten zyklotomischen Körpers isomorph zu (ZZ/nZZ)^{∗} ist. Darüber hinaus werden keine weitergehenden Eigenschaften dieser Körper benötigt. In Satz 2 wird dann, schon im Vorgriff auf das dritte Kapitel, ein explizites Erzeugendensystem der Gruppe der zyklotomischen Einheiten angegeben. Kapitel 2 behandelt die Lemmata von Franz und Bass. Dabei ist es für den Beweis des Lemmas von Franz notwendig, Gaußsche Summen einzuführen und deren elementare Eigenschaften herzuleiten. Im Beweis selbst wird das Nichtverschwinden der Dirichletschen L-Funktion ausgenutzt. Diese in der analytischen Zahlentheorie fundamentale Tatsache wird im Anhang A bewiesen. Satz 3 macht eine Anwendung des Lemmas von Franz deutlich. Das Lemma von Bass ist eine Verallgemeinerung des Lemmas von Franz. Es ist im Zusammenhang dieser Arbeit interessant, da für den Beweis – im Gegensatz zur Originalversion von Bass – Gruppenringe verwendet werden. Insbesondere wird der Gruppenring ZZG_{n} zum Ring ZZ und zur Automorphismengruppe G_{n} des n-ten zyklotomischen Körpers betrachtet. Im letzten Kapitel wird die Gruppe der zyklotomischen Einheiten weiter untersucht. Ramachandra definiert Einheiten in der Gruppe der zyklotomischen Einheiten, die eine Untergruppe von endlichem Index erzeugen. Die Unabhängigkeit dieser Einheiten ist Gegenstand von Satz 4. Der Beweis dieses Satzes wird wiederum mit Hilfe des Gruppenrings ZZG_{n} geführt und unterscheidet sich dadurch wesentlich von Ramachandras Beweis.

Am Ende dieser Arbeit wird eine Basis der zyklotomischen Einheiten von ZZ[ϵ_{n}] konstruiert, falls n von höchstens drei verschiedenen Primzahlen geteilt wird (Satz 5, 6 und 7). Mit Hilfe eines SIMATH-Programmes ist es möglich, eine Basis anzugeben und jedes Element der Form 1 − ϵ_{n}^{ν} als Produkt von Basiselementen darzustellen. Das 3. Kapitel enthält dazu einige Beispiele. Das Programm, mit dem diese Beispiele erstellt wurden, befindet sich im Anhang B. Der logische Aufbau der einzelnen Abschnitte läßt sich wie folgt darstellen:

1.1 Gruppenringe 1.2 Rechnen in zyklotomischen Körpern 2.1 Das Lemma von Franz 1.3 Das System der zyklotomischen Einheiten 2.2 Das Lemma von Bass 3.1 Das Einheitensystem von Ramachandra 3.2 Explizite Konstruktion einer Basis

3.3 Beispiele

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1 Grundlagen

Zunächst werden Gruppenringe eingeführt. Danach werden einige Relationen in ZZ[ϵ_{n}] hergeleitet, die schließlich zur Definition der zyklotomischen Einheiten führen.

1.1 Gruppenringe

Der Gruppenring ist eine algebraische Struktur, die zunehmend an Bedeutung gewinnt. Wir werden uns hier auf endliche, später sogar auf abelsche Gruppen beschränken. Eine ähnliche Konstruktion ist auch für unendliche Gruppen möglich.

1.1.1 Definitionen und Bemerkung

Sei R ein beliebiger Ring und G eine endliche Gruppe. Die Verknüpfung in G sei multiplikativ geschrieben. RG bezeichne die Menge aller formalen Summen

∑_{σ∈G} r_{σ}σ

mit Koeffizienten r_{σ} ∈ R. Dabei werden meistens die Summanden weggelassen, für die r_{σ} = 0 ist. Wenn klar ist, worüber summiert wird, wird auch der Summenindex weggelassen. Auf RG werden eine Addition und eine Multiplikation gemäß

∑_{σ∈G} r_{σ}σ + ∑_{σ∈G} s_{σ}σ := ∑_{σ∈G}(r_{σ} + s_{σ})σ

und

(∑_{σ∈G} r_{σ}σ)(∑_{τ∈G} s_{τ} τ) := ∑_{ρ∈G} ( ∑_{στ=ρ} r_{σ}s_{τ} ) ρ

definiert. \underline{Lemma 1} RG bildet mit diesen Verknüpfungen einen Ring, sogar einen Ring mit Eins, falls R ein Ring mit Eins ist, und einen kommutativen Ring, falls R und G kommutativ sind. \underline{Beweis} Die additive Gruppenstruktur ist sofort klar, da die Addition komponentenweise erklärt ist. Die Assoziativität der Multiplikation folgt aus

\begin{matrix}((∑_{σ∈G} r_{σ}σ)(∑_{τ∈G} s_{τ} τ)) (∑_{ρ∈G} t_{ρ}ρ) = (∑_{μ∈G} ( ∑_{στ=μ} r_{σ}s_{τ} ) μ) (∑_{ρ∈G} t_{ρ}ρ) \\ = ∑_{ν∈G} ( ∑_{μρ=ν} ∑_{στ=μ} r_{σ}s_{τ} t_{ρ}) ν = ∑_{ν∈G} ( ∑_{στρ=ν} r_{σ}s_{τ} t_{ρ}) ν \end{matrix}

und

\begin{matrix}(∑_{σ∈G} r_{σ}σ) ((∑_{τ∈G} s_{τ} τ)(∑_{ρ∈G} t_{ρ}ρ)) = (∑_{σ∈G} t_{σ}σ) (∑_{μ∈G} ( ∑_{τρ=μ} s_{τ} t_{ρ}) μ) \\ = ∑_{ν∈G} ( ∑_{σμ=ν} ∑_{τρ=μ} r_{σ}s_{τ} t_{ρ}) ν = ∑_{ν∈G} ( ∑_{στρ=ν} r_{σ}s_{τ} t_{ρ}) ν. \end{matrix}

Die Distributivität rechnet man ähnlich nach. Das Einselement ist, wenn 1 die Eins im Ring ist und σ_{1} das neutrale Element der Gruppe, das Element 1σ_{1}. Die Kommutativität ist aus der Definition der Multiplikation ersichtlich.

qed.

Diese Eigenschaften motivieren folgende Definition.

\underline{Definition} RG mit der oben eingeführten Addition und Multiplikation heißt Gruppenring zu R und G. Ist R = K Körper, so bezeichnet man KG auch als Gruppenalgebra. In der Literatur findet sich auch die Bezeichnung R[G]. \underline{Bemerkung} Die Schreibweise der Elemente als formale Summen und die Definition der Addition im Gruppenring ist gerade so, daß die formale Summe

∑_{σ∈G} r_{σ}σ

auch als echte Summe der Gruppenringelemente r_{σ}σ interpretiert werden kann.

1.1.2 Beispiel

Ist G = C_{n} die von einem Element x ∈ C_{n} erzeugte zyklische Gruppe der Ordnung n (das heißt x^{n} = 1) und R = ZZ der Ring der ganzen Zahlen, so ist

ZZC_{n} = {∑_{i=0}^{n−1} a_{i}x^{i}, a_{i} ∈ ZZ}.

Die Multiplikation ist in diesem Fall

(∑_{i=0}^{n−1} a_{i}x^{i}) (∑_{i=0}^{n−1} b_{i}x^{i}) = ∑_{k=0}^{n−1} ( ∑_{i+j≡k mod n} a_{i}b_{j}) x^{k}

und entspricht gerade der Multiplikation im Polynomring ZZ[x] und anschließender Identifikation von x^{k} mit x^{n+k}. In der Tat läßt sich zeigen, daß

ZZC_{n} ≅ ZZ[x] /(x_{n} − 1)

gilt.

1.1.3 Homomorphismen

Sowohl Homomorphismen von Ringen als auch Homomorphismen von Gruppen lassen sich übertragen zu Homomorphismen zwischen Gruppenringen. Davon handeln die nächsten beiden Lemmata. \underline{Lemma 2} Seien G eine Gruppe, R und S zwei Ringe und φ : R → S ein Ringhomomorphismus. Dann ist

\begin{aligned}φ̂ : & RG & → & SG \\ & ∑_{σ∈G} r_{σ}σ & ↦ & ∑_{σ∈G} φ(r_{σ})σ \end{aligned}

ein Homomorphismus von Gruppenringen. Ist φ injektiv bzw. surjektiv, so ist φ̂ ebenfalls injektiv bzw. surjektiv. Der Beweis ergibt sich direkt aus der Definition von Addition und Multiplikation im Gruppenring. \underline{Lemma 3} Seien G und H zwei Gruppen und R ein Ring. Sei φ : G → H ein Homomorphismus von Gruppen. Dann ist

\begin{aligned}φ̂ : & RG & → & RH \\ & ∑_{σ∈G} r_{σ}σ & ↦ & ∑_{τ∈H} ( ∑_{φ(σ)=τ} r_{σ}) τ \end{aligned}

ein Homomorphismus von Gruppenringen. Auch hier gilt, wenn φ injektiv bzw. surjektiv ist, daß auch φ̂ injektiv bzw. surjektiv ist.

\underline{Beweis} Man rechnet die Eigenschaften direkt nach. Für die Addition hat man

\begin{matrix}φ̂(∑_{σ∈G} r_{σ}σ) + φ̂(∑_{σ∈G} s_{σ}σ) = ∑_{τ∈H} ( ∑_{φ(σ)=τ} r_{σ}) τ + ∑_{τ∈H} ( ∑_{φ(σ)=τ} s_{σ}) τ \\ = ∑_{τ∈H} ( ∑_{φ(σ)=τ} r_{σ} + s_{σ}) τ = φ̂(∑_{σ∈G}(r_{σ} + s_{σ})σ), \end{matrix}

und für die Multiplikation rechnet man nach:

φ̂(∑_{σ∈G} r_{σ}σ)φ̂( ∑_{σ′∈G} s_{σ′}σ′) = (∑_{τ∈H}( ∑_{φ(σ)=τ} r_{σ})τ) ( ∑_{τ′∈H}( ∑_{φ(σ′)=τ′} s_{σ′})τ′)

= ∑_{ρ∈H} ( ∑_{ττ′=ρ}( ∑_{φ(σ)=τ}r_{σ})( ∑_{φ(σ′)=τ′}s_{σ′})) ρ = ∑_{ρ∈H} ( ∑_{ττ′=ρ} ∑_{φ(σ)=τ} ∑_{φ(σ′)=τ′}r_{σ}s_{σ′} ) ρ

= ∑_{ρ∈H} ( ∑_{φ(σ)φ(σ′)=ρ} r_{σ}s_{σ′} ) ρ = ∑_{ρ∈H} ( ∑_{φ(σσ′)=ρ} r_{σ}s_{σ′} ) ρ

= ∑_{ρ∈H} ∑_{φ(μ)=ρ} ( ∑_{σσ′=μ} r_{σ}s_{σ′} ) ρ = φ(∑_{μ∈G} ( ∑_{σσ′=μ} r_{σ}s_{σ′} ) ρ).

Falls φ injektiv ist, sieht man die Injektivität von φ̂ wie folgt: Sei

φ̂(∑_{σ∈G} r_{σ}σ) = ∑_{τ∈H} ( ∑_{φ(σ)=τ} r_{σ}) τ = 0.

Die innere Summe im zweiten Term besteht wegen der Injektivität von φ aus höchstens einem Element. Dieses muß dann Null sein. Also ist jedes r_{σ} = 0. Um die Surjektivität zu zeigen, wähle man sich zu jedem τ ∈ H genau ein σ_{τ} ∈ G, für das φ(σ_{τ}) = τ gilt. Ein Urbild zu ∑ s_{τ} τ ∈ RH ist ∑ s_{τ} σ_{τ} ∈ RG. Damit ist Lemma 2 gezeigt.

qed.

In Gruppenringen können wir den Ring R und, falls R ein Ring mit Eins ist, die Gruppe G in RG wiederfinden. Und zwar mit der Einbettung

R ↪ RG
r ↦ rσ_{1}

im ersten Fall und mit der Einbettung

G ↪ RG
σ ↦ 1σ

im zweiten Fall, wobei 1 die Eins in R und σ_{1} das neutrale Element in G bezeichnen. Die Injektivität der Abbildungen ist offensichtlich. Die Einbettung von G ist dabei als Monomorphismus in die Einheitengruppe von RG zu interpretieren. Auf Grund dieser Einbettungen werden dann auch Elemente aus R und G als Elemente aus RG identifiziert. (Z.B. schreibt man 1 statt 1σ_{1} und p − σ statt pσ_{1} − 1σ, usw.) Mit der Abbildung

R × RG → RG
(r, ∑ r_{σ}σ) ↦ ∑ rr_{σ}σ

rechnet man sofort nach, daß RG die Eigenschaften eines R-Moduls hat. Jeder Gruppenring RG ist also als R-Modul interpretierbar. Im weiteren Verlauf wird meistens R = ZZ der Ring der ganzen Zahlen sein. Zunächst betrachten wir allerdings R = C , den Körper der komplexen Zahlen. \underline{Lemma 4} Sei G eine Gruppe, C G die Gruppenalgebra zu C und G, und es sei χ ein abelscher Charakter von G, das heißt ein Homomorphismus von G in die multiplikative Gruppe von C . Dann ist die Abbildung

\begin{aligned}χ̂ : & C G & → & C \\ & ∑ r_{σ}σ & ↦ & ∑ r_{σ}χ(σ) \end{aligned}

ein Ringhomomorphismus. Zusätzlich ist χ̂ C -linear, wenn C G als C -Vektor-raum aufgefaßt wird. Es ist zu beachten, daß links eine formale Summe steht und im Unterschied dazu rechts eine Summe komplexer Zahlen. Normalerweise wird der von χ induzierte Homomorphismus ebenfalls mit χ (statt χ̂) bezeichnet, wenn die Gefahr der Verwechslung nicht besteht. Die Einschränkung von χ̂ auf ZZG bildet natürlich ebenfalls einen Homomorphismus. \underline{Beweis} Die Additivität und C-Linearität von χ̂ folgt sofort aus der Definition der Abbildung χ̂. Die Multiplikativität der Abbildung erhält man, wenn man die Relation

(∑_{σ∈G} r_{σ}χ(σ))(∑_{τ∈G} s_{τ} χ(τ)) = ∑_{σ∈G} ∑_{τ∈G} r_{σ}χ(σ)s_{τ} χ(τ)

= ∑_{σ∈G} ∑_{τ∈G} r_{σ}s_{τ} χ(στ) = ∑_{ρ∈G} ( ∑_{στ=ρ} r_{σ}s_{τ} ) χ(ρ)

benutzt, die nur eine Manipulation von Summen komplexer Zahlen unter Ausnutzung der Homomorphieeigenschaft von χ darstellt.

qed.

Lemma 4 erlaubt es, die Einheiten in C G zu charakterisieren, falls G eine abelsche Gruppe ist.

1.1.4 Einheiten in der Gruppenalgebra C G

Ist R = C und G abelsch, so ist es möglich, die Einheiten in C G (das heißt die in C G invertierbaren Elemente) zu charakterisieren, nicht zuletzt weil der R-Modul dann sogar Vektorraum ist.

Satz 1 (Charakterisierung von Einheiten) Sei G eine endliche abelsche Gruppe, C G die zugehörige Gruppenalgebra. Sei g ∈ C G. Dann gelten folgende Aussagen:

a) Wenn für jeden Charakter χ von G gilt, daß

χ(g) ≠ 0

ist, so ist g invertierbar, also eine Einheit im Gruppenring C G.

b) Gilt für (mindestens) einen Charakter χ(g) = 0, so ist g Nullteiler.

c) Gilt für alle Charaktere χ, daß χ(g) = 0 ist, dann folgt g = 0.

d) Gilt für alle Charaktere χ, daß χ(g) = 1 ist, dann folgt g = 1.

Insbesondere folgt aus a und b, daß jede Nichteinheit in C G bereits Nullteiler ist. \underline{Beweis} Aussage d ist eine direkte Folgerung aus c (es ist 0 = χ(g) − 1 = χ(g − 1) für jeden Charakter χ also g − 1 = 0). Die Aussagen a-c werden zusammen bewiesen. Sei n die Dimension des Vektorraums C G als C -Vektorraum. Da G, als Teilmenge von C G betrachtet, eine Basis des Vektorraums C G bildet, ist n = #G, die Anzahl der Elemente der Gruppe G. Die Anzahl der Charaktere von G ist ebenfalls n, da die Charaktergruppe isomorph zur Gruppe ist (G ist nach Voraussetzung abelsch). Interpretiert man die Charaktere gemäß Lemma 4 als lineare Abbildungen des Vektorraum C G, so hat man n lineare Abbildungen, die im Dualraum zu C G liegen. Zunächst wird gezeigt, daß diese eine Basis des Dualraums bilden. Dazu ist nur lineare Unabhängigkeit zu zeigen, da die Dimension des Dualraums gleich der Dimension des Vektorraums, also n, ist. Die lineare Unabhängigkeit zeigt man wie folgt (vgl. Lang, S. 209): Ein Charakter ist offensichtlich linear unabhängig. Nimmt man an, die Charaktere wären linear abhängig, dann sei unter allen nichttrivialen Darstellungen der Null die Darstellung

a_{1}χ_{1} + ⋯ + a_{ν}χ_{ν} = 0  (∗)

mit paarweise verschiedenen Charakteren χ_{i} und a_{i} ∈ C eine mit minimalem ν. Es ist ν ≥ 2 und kein a_{i} ist gleich 0. Da χ_{1} ≠ χ_{2} ist, gibt es ein τ ∈ G, so daß χ_{1}(τ) ≠ χ_{2}(τ) ist. Für alle σ ∈ G gilt so

a_{1}χ_{1}(στ) + ⋯ + a_{ν}χ_{ν}(στ) = 0.

Da die χ_{i} Charaktere sind, erhält man

a_{1}χ_{1}(τ)χ_{1} + ⋯ + a_{ν}χ_{ν}(τ)χ_{ν} = 0.

Dividiert man nun durch χ_{1}(τ) und subtrahiert (∗), so hebt sich der Term a_{1}χ_{1} weg, und man erhält

(a_{2} \frac{χ_{2}(τ)}{χ_{1}(τ)} − a_{2}) χ_{2} + ⋯ + (a_{ν} \frac{χ_{ν}(τ)}{χ_{1}(τ)} − a_{ν}) χ_{ν} = 0.

Da χ_{1}(τ) ≠ χ_{2}(τ), ist der erste Koeffizient ungleich Null, und man hätte eine nichttriviale Darstellung der Null mit weniger als ν Charakteren. Das ist ein Widerspruch zur Minimalität von ν. Um nun die Aussagen des Satzes zu zeigen, betrachte man zur Basis {χ_{1}, …, χ_{n}} die duale Basis in C G, also eine Basis {g_{1}, …, g_{n}} mit der Eigenschaft

χ_{i}(g_{j}) = δ_{ij} := \{ \begin{matrix}1 & falls i = j \\ 0 & falls i ≠ j \end{matrix} .

Jedes g ∈ C G hat zu dieser Basis die Darstellung

g = ∑_{i=1}^{n} χ_{i}(g)g_{i}

(ist nämlich g = ∑ a_{i}g_{i}, so erhält man

∑_{i=1}^{n} χ(g)g_{i} = ∑_{i=1}^{n} χ(∑_{j=1}^{n} a_{j}g_{j})g_{i} = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{n} a_{j}χ_{i}(g_{j})g_{i}

= ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{n} a_{j}δ_{ij}g_{i} = ∑_{k=1}^{n} a_{k}g_{k} = g ).

Aus dieser Darstellung folgt g = 0, wenn χ_{i}(g) für jeden Charakter χ_{i} verschwindet und somit Teil c des Satzes.

Für die Teile a und b berechnen wir zunächst die Darstellungsmatrix der linearen Abbildung

Φ_{g} : C G → C G
h ↦ gh

zur Basis {g_{1}, …, g_{n}}, indem wir die Wirkung von Φ_{g} auf die g_{j} feststellen:

Φ_{g}(g_{j}) = gg_{j} = ∑_{i=1}^{n} χ_{i}(gg_{j})g_{i} = ∑_{i=1}^{n} χ_{i}(g)χ_{i}(g_{j})g_{i} = χ_{j}(g)g_{j}.

Die Darstellungsmatrix von Φ_{g} hat also Diagonalgestalt mit den Elementen χ_{1}(g), …, χ_{n}(g) auf der Diagonalen. Die Determinante ist

detΦ_{g} = ∏_{i=1}^{n} χ_{i}(u).

Ist jeder Faktor ungleich Null, so auch die Determinante, und Φ_{g} ist invertierbar, das heißt bijektiv. Insbesondere hat dann die 1 von C G (als Gruppenring) ein Urbild g_{1}. Mit diesem gilt

1 = Φ_{g}(g_{1}) = gg_{1},

g_{1} ist also invers zu g, und Teil a folgt. Ist mindestens ein χ(g) = 0, so verschwindet auch die Determinante von Φ_{g}. Die Abbildung Φ_{g} hat also einen nichttrivialen Kern. Mit anderen Worten, es existiert ein g_{0} ≠ 0 mit Φ_{g}(g_{0}) = gg_{0} = 0. Damit folgt schließlich Teil b.

qed.

\underline{Korollar} Sei G eine endliche abelsche Gruppe, g ∈ ZZG. Es gelte χ(g) ≠ 0 für jeden Charakter χ von G. Ist

gh = 0,

so ist schon h = 0. \underline{Beweis} Man betrachte die Einbettung von ZZG in C G und multipliziere mit dem Inversen von g in C G.

1.1.5 Die Augmentationsabbildung

In Abschnitt 1.1.3 wurde gezeigt, wie durch einen abelschen Charakter von G ein Homomorphismus des Gruppenringes in die komplexen Zahlen induziert wird.

Der triviale Charakter induziert dabei die Abbildung

\begin{aligned}aug : & C G & → & C \\ & ∑ r_{σ}σ & ↦ & ∑ r_{σ}. \end{aligned}

Wie man sofort nachrechnen kann, ist diese Abbildung auch dann ein Homomorphismus, wenn man statt C einen beliebigen Ring nimmt.

\underline{Definition} Sei R ein Ring, G eine Gruppe, RG der Gruppenring zu R und G. Dann heißt der Homomorphismus

\begin{aligned}aug : & RG & → & R \\ & ∑ r_{σ}σ & ↦ & ∑ r_{σ} \end{aligned}

Augmentationsabbildung. Der Kern dieser Abbildung, das heißt die Menge der Elemente g aus RG mit aug(g) = 0, heißt das Augmentationsideal von RG. Es wird mit ΔRG bezeichnet. Das Augmentationsideal läßt sich mit Hilfe des nachfolgenden Lemmas auch anders charakterisieren. \underline{Lemma 5} Sei RG der Gruppenring zu R und G, und sei σ_{1} das neutrale Element von G, dann gilt:

ΔRG = {g ∈ RG | g = ∑_{σ∈G\{σ_{1}}} r_{σ}(σ − 1), r_{σ} ∈ R}.

\underline{Beweis} “ ⊆ ”: Ist g = ∑ r_{σ}σ und aug(g) = 0, so ist ∑ r_{σ} = 0. Durch Subtraktion erhält man

r_{σ_{1}} = − ∑_{σ∈G\{σ_{1}}} r_{σ}

und somit die eindeutige Darstellung

g = ∑_{σ∈G\{σ_{1}}} r_{σ}σ − ∑_{σ∈G\{σ_{1}}} r_{σ} = ∑_{σ∈G\{σ_{1}}} r_{σ}(σ − 1).

“ ⊇ ”: Wegen aug(σ − 1) = 1 − 1 = 0 für jedes σ ∈ G gilt

aug( ∑_{σ∈G\{σ_{1}}} r_{σ}(σ − 1)) = ∑_{σ∈G\{σ_{1}}} r_{σ}aug(σ − 1) = 0.

1.1.6 Einige Bemerkungen über Einheiten im Gruppenring ZZG

Es sei G im folgenden immer abelsch. Die explizite Konstruktion von Einheiten in Gruppenringen ZZG ist im allgemeinen schwierig. Man betrachte den durch einen Gruppencharakter χ induzierten Homomorphismus

\begin{aligned}χ : & ZZG & → & C \\ & ∑ r_{σ}σ & ↦ & ∑ r_{σ}χ(σ). \end{aligned}

Diese Abbildung schöpft C als Bildbereich bei weitem nicht aus. Ist nämlich n = #G die Anzahl der Elemente von G, so ist der Bildbereich höchstens ZZ[ϵ_{n}], der Ganzheitsring des n-ten zyklotomischen Zahlkörpers (für jedes Gruppenelement σ gilt nach dem kleinen Fermatschen Satz σ^{n} = σ_{1}, somit χ(σ)^{n} = 1). Je nach Struktur von G und χ ist der Bildbereich sogar nur ein Teilring von ZZ[ϵ_{n}] (ist beispielsweise χ der triviale Charakter, so ist der Bildbereich ZZ). Da χ Homomorphismus ist, wird jede Einheit aus ZZG in eine Einheit aus χ(ZZG) abgebildet. Dies ist die Motivation gewesen, im Rahmen dieser Arbeit Einheiten in ZZ[ϵ_{n}] zu untersuchen.

1.2 Rechnen in zyklotomischen Körpern

1.2.1 Automorphismen in zyklotomischen Zahlkörpern

Es sei n im folgenden eine beliebige, aber feste natürliche Zahl. Der zyklotomische Zahlkörper Q [ϵ_{n}] ist der Zahlkörper, der entsteht, wenn man zu Q alle n-ten Einheitswurzeln adjungiert. Die Automorphismen von Q[ϵ_{n}] sind gerade die Abbildungen, die primitive n-te Einheitswurzeln auf primitive n-te Einheitswurzeln abbilden. Bezeichnet ϵ_{n} eine feste primitive n-te Einheitswurzel, so sind dementsprechend die Automorphismen die Abbildungen

σ_{ν} : Q[ϵ_{n}] → Q[ϵ_{n}]
ϵ_{n} ↦ ϵ_{n}^{ν}
σ_{ν}|Q = idQ,

wobei ν zu n teilerfremd ist. Gilt ν ≡ μ mod n, so ist wegen

ϵ_{n}^{ν+rn} = ϵ_{n}^{ν}(ϵ_{n}^{n})^{r} = ϵ_{n}^{ν}

σ_{ν} = σ_{μ}. Zudem ist für zwei Automorphismen σ_{ν} und σ_{μ}

σ_{ν}(σ_{μ}(ϵ_{n})) = σ_{νμ}(ϵ_{n}).

Genauer gilt, daß die Automorphismengruppe des zyklotomischen Zahlkörpers Q[ϵ_{n}] isomorph zu (ZZ/nZZ)^{∗} ist. Ein Beweis dieser fundamentalen Eigenschaft der Kreisteilungskörper findet sich beispielsweise bei Washington, S. 11, Theorem 2.5. Die Automorphismengruppe wird von nun an mit G_{n} bezeichnet und mit (ZZ/nZZ)^{∗} identifiziert. Die Elemente aus G_{n} werden wie oben mit σ_{ν} bezeichnet.

1.2.2 Der Gruppenring der Automorphismen

Wir betrachten nun den Gruppenring ZZG_{n} zum Ring der ganzen Zahlen und zur Automorphismengruppe G_{n}. Ein Element g dieses Gruppenrings hat die Darstellung

g = ∑_{σ_{ν}∈G_{n}} a_{σ_{ν}} σ_{ν}.

Dies wird in der Regel geschrieben als

g = ∑_{ν∈G_{n}} a_{ν}σ_{ν},

um doppelte Indizes zu vermeiden (es wird also an manchen Stellen, an denen keine Verwechselungen auftreten können, ν statt σ_{ν} geschrieben). Im folgenden sei Q[ϵ_{n}]^{∗} := Q[ϵ_{n}] \ {0}.

\underline{Definition} Sei u aus Q[ϵ_{n}]^{∗} und g = ∑ a_{ν}σ_{ν} ein Element des Gruppenrings ZZG_{n}. Dann wird u^{g} ∈ Q[ϵ_{n}]^{∗} definiert durch

u^{g} = u^{∑ a_{ν}σ_{ν}} := ∏_{ν} σ_{ν}(u)^{a_{ν}} .

Mit dieser Definition gelten die üblichen “Potenzgesetze”, die in den nächsten beiden Lemmata bewiesen werden. \underline{Lemma 1} Sei g ∈ ZZG_{n}. Die durch g induzierte Abbildung

\begin{matrix}Q[ϵ_{n}]^{∗} & → & Q[ϵ_{n}]^{∗} \\ u & ↦ & u^{g} \end{matrix}

ist ein Endomorphismus der multiplikativen Gruppe von Q [ϵ_{n}]. Mit anderen Worten, zu u, v ∈ Q[ϵ_{n}]^{∗} gilt

(uv)^{g} = u^{g}v^{g}.

\underline{Beweis} Ist g = ∑ a_{ν}σ_{ν}, so erhält man (unter Ausnutzung der Homomorphieeigenschaft der σ_{ν})

(uv)^{g} =∏_{ν} σ_{ν}(uv)^{a_{ν}} =∏_{ν}(σ_{ν}(u)^{a_{ν}} σ_{ν}(v)^{a_{ν}}) =∏_{ν} σ_{ν}(u)^{a_{ν}} ∏_{ν} σ_{ν}(v)^{a_{ν}} = u^{g}v^{g}.

qed. \underline{Lemma 2}

Die Addition zweier Elemente des Gruppenrings entspricht der (punktweisen) Multiplikation zweier Endomorphismen, die Multiplikation entspricht der Hintereinanderausführung zweier Endomorphismen. In Formeln bedeutet das:

u^{g+h} = u^{g}u^{h}
u^{gh} = (u^{g})^{h}

für u ∈ Q[ϵ_{n}]^{∗} und g, h ∈ ZZG_{n}. \underline{Beweis} Die Formeln ergeben sich wieder durch Einsetzen der Definition und Umsortieren von Faktoren. Setzt man g = ∑ a_{ν}σ_{ν} und h = ∑ b_{ν}σ_{ν}, so folgt

u^{(g+h)} = u^{∑(a_{ν}+b_{ν})σ_{ν}} = ∏ σ_{ν}(u)^{a_{ν}+b_{ν}} = ∏ σ_{ν}(u)^{a_{ν}} ∏ σ_{ν}(u)^{b_{ν}} = u^{g}u^{h}.

Weiter ist

(u^{g})^{h} = (∏_{ν} σ_{ν}(u)^{a_{ν}} )^{h} = ∏_{μ} σ_{μ} (∏_{ν} σ_{ν}(u)^{a_{ν}} )^{b_{μ}} = ∏_{μ} ∏_{ν} σ_{μ}(σ_{ν}(u))^{a_{ν}b_{μ}}.

Wegen σ_{μ}(σ_{ν}(u)) = σ_{μν}(u) folgt schließlich

\begin{matrix}∏_{μ} ∏_{ν} σ_{μ}(σ_{ν}(u))^{a_{ν}b_{μ}} = ∏_{μ} ∏_{ν} σ_{μν}u^{a_{ν}b_{μ}} = ∏_{τ} ( ∏_{μν=τ} σ_{τ} (u^{a_{ν}b_{μ}})) \\ = ∏_{τ} σ_{τ} (u)^{∑^{μν=τ} a_{ν}b_{μ}} = u^{∑_{τ} (∑_{μν=τ} a_{ν}b_{μ})σ_{τ}} = u^{hg} = u^{gh}, \end{matrix}

wobei zuletzt noch die Kommutativität von ZZG_{n} ausgenutzt wurde.

qed.

Die folgende Definition und das dazugehörige Lemma zeigen, daß die Definition von u^{g} ebenfalls mit der Einbettung eines zyklotomischen Körpers in einen anderen verträglich ist.

\underline{Definition} Es sei d ein Teiler von n und g = ∑ a_{ν}σ_{ν} ∈ ZZG_{n}. Dann werde g(d) ∈ ZZG_{d} definiert durch

g(d) := ∑_{μ∈G_{d}}( ∑_{\begin{matrix}ν∈G_{n}, \\ ν≡μ mod d \end{matrix}} a_{ν})σ_{μ}.

Man kann sich g(d) als das Element in ZZG_{d} vorstellen, das entsteht, indem in g = ∑ a_{ν}σ_{ν} alle σ_{ν} modulo d reduziert werden. Mit dieser Definition gilt das folgende Lemma: \underline{Lemma 3} Es sei d ein Teiler von n und u aus Q[ϵ_{d}]^{∗}, so daß also u ∈ Q[ϵ_{d}]^{∗} ⊆ Q[ϵ_{n}]^{∗} ist. Sei g aus ZZG_{n}. Dann gilt

u^{g} = u^{g(d)}.

Dabei wird u links als Element aus Q[ϵ_{n}]^{∗} und rechts als Element von Q[ϵ_{d}]^{∗} aufgefaßt. Der Beweis ergibt sich direkt aus der Definition von g(d). \underline{Bemerkung} Mit obigen Bezeichnungen ist g(1) gerade die Augmentationsabbildung. Nach Lemma 3 gilt also für z ∈ ZZ, z ≠ 0:

z^{g} = z^{aug(g)}.

1.2.3 Die P-Teiler einer natürlichen Zahl

Nachfolgend spielen gewisse Teiler von n eine besondere Rolle. Diese Teiler werden als P-Teiler von n bezeichnet. Sie sind wie folgt definiert.

\underline{Definition} Sei n ∈ IN durch

n = ∏_{p} p^{α_{p}}

eindeutig in paarweise teilerfremde Primzahlpotenzen zerlegt. Ist d ≠ 1 ein Teiler von n, dann heißt

t = ∏_{p|d} p^{α_{p}}

der zu d gehörige P-Teiler von n. Ist t zusätzlich Potenz einer Primzahl, so heißt t primer P-Teiler. Der P-Teiler t enthält also als Faktoren genau diejenigen Primzahlen, die auch d als Faktoren hat. Jede Primzahl kommt allerdings in t mit der vollen Potenz vor, das heißt in der Potenz, mit der sie auch in n vorkommt. \underline{Bemerkung} Jede natürliche Zahl n besitzt eine eindeutige Zerlegung

n = ∏_{i=1}^{k} q_{i}

in prime, paarweise teilerfremde P-Teiler q_{i}. Es gilt nach dem chinesischen Restsatz

G_{n} ≅ ∏_{i=1}^{k} G_{q_{i}}.

\underline{Beispiel} Falls n = 360 = 2^{3} · 3^{2} · 5 ist, so sind die P-Teiler gerade 5, 8 = 2^{3}, 9 = 3^{2}, 40 = 2^{3} · 5, 45 = 3^{2} · 5, 72 = 2^{3} · 3^{2} und 360. Die primen P-Teiler sind 5, 8 und 9. Der beispielsweise zum Teiler 10 gehörige P-Teiler ist 40.

1.2.4 Rechnen mit Einheitswurzeln

\underline{Lemma 4} Sei ϵ_{n} eine feste primitive n-te Einheitswurzel. Es sei zu jedem Teiler d von n die primitive d-te Einheitswurzel ϵ_{d} definiert durch ϵ_{d} := ϵ_{n}^{n/d}. Es gilt:

a) Ist dt ein Teiler von n, so ist

ϵ_{dt}^{t} = ϵ_{d}.

b) Sind zusätzlich t und d zueinander teilerfremd, so ist

ϵ_{dt} = ϵ_{d}^{σ_{t}^{−1}} ϵ_{t}^{σ_{d}^{−1}}.

\underline{Beweis} Teil a folgt direkt aus

ϵ_{dt}^{t} = ϵn^{\frac{nt}{dt}} = ϵ_{n}^{n/d} = ϵ_{d}.

Sind d und t teilerfremd, so existieren a und b aus ZZ mit

1 = bt + ad.

Dabei ist zusätzlich a zu d invers modulo t und umgekehrt b modulo d invers zu t. Es gilt

ϵ_{dt} = ϵ_{dt}^{bt+ad} = ϵ_{dt}^{bt}ϵ_{dt}^{ad} = ϵ_{d}^{b}ϵ_{t}^{a} = ϵ_{d}^{σ_{b}}ϵ_{t}^{σ_{a}},

und Teil b folgt.

qed.

\underline{Bemerkung} Aus Teil b des vorangehenden Lemmas folgt, daß, wenn d und t zueinander teilerfremd sind, sich jede primitive dt-te Einheitswurzel ϵ_{dt} als Produkt einer primitiven d-ten und einer primitiven t-ten Einheitswurzel ϵ_{d} beziehungsweise ϵ_{t} darstellen läßt. Bei geeigneter Wahl von ϵ_{d} und ϵ_{t} gilt also

ϵ_{dt} = ϵ_{d}ϵ_{t}.

1.2.5 Elementare Relationen im Ring ZZ[ϵ_{n}]

Das System der zyklotomischen Einheiten wird im wesentlichen von Elementen der Form 1−ϵ_{d} erzeugt werden. Wir wollen zunächst einige Relationen in ZZ[ϵ_{n}] zur Verfügung stellen, um mit Ausdrücken dieser Art zu rechnen. Zunächst ein Lemma, das die Grundlage für die weiteren liefert: \underline{Lemma 5} Es sei q = p^{α}, p prim, q̂ := p^{α−1} und ϵ_{q} eine primitive q-te Einheitswurzel, η sei eine beliebige komplexe Zahl. Dann gilt:

a)

∏_{a∈G_{q}}(1 − ηϵ_{q}^{a}) = \frac{1 − η^{q}}{1 − ηq̂} = ∑_{i=0}^{p−1} η^{q̂i}

(ist im mittleren Term der Nenner gleich Null, so ist die Gleichung als Grenzwert für 1 − ηq̂ → 0 aufzufassen).

b)

∏_{a∈G_{q}}(1 − ϵ_{q}^{a}) = p.

c) Ist ϵ_{p} eine primitive p-te Einheitswurzel, so gilt

∏_{a=0}^{p−1}(1 − ηϵ_{p}^{a}) = 1 − η^{p}.

\underline{Beweis} Es durchläuft ϵ_{q}^{a} alle q-ten Einheitswurzeln, wenn a alle Werte zwischen 0 und q − 1 durchläuft. Es gilt also die Polynomgleichheit

∏_{a=0}^{q−1}(1 − xϵ_{q}^{a}) = 1 − x^{q}

(die Polynome haben die gleichen Nullstellen, und bei beiden ist der niedrigste Koeffizent 1). Für q = p und Einsetzen von x = η folgt Aussage c. Um ein Polynom zu erhalten, das als Nullstellen gerade die primitiven q-ten Einheitswurzeln hat, dividiert man durch ein Polynom, das als Nullstellen gerade die q̂-ten Einheitswurzeln hat, also durch 1 − xq̂. So erhält man

∏_{a∈G_{q}}(1 − xϵ_{q}^{a}) = \frac{1 − x^{q}}{1 − xq̂} = ∑_{i=1}^{p−1} x^{q̂i}.

Teil b folgt nun, indem man x = 1 einsetzt (und den mittleren Term ignoriert). Teil a folgt durch Einsetzen von x = η.

qed.

\underline{Definition} Sei n = td, dann wird das Element N_{t} ∈ ZZG_{n} definiert durch

N_{t} := ∑_{a≡1 mod d} σ_{a}.

\underline{Lemma 6} Es sei q = p^{α} ein primer P-Teiler von n und t ≠ 1 eine zu q teilerfremde natürliche Zahl, so daß qt ein Teiler von n ist. Dann gilt:

\begin{aligned}a) & (1 − ϵ_{t}ϵ_{q})^{N_{q}} & = & (1 − ϵ_{t})^{σ_{q}(1−σ_{p}^{−1})}. \\ b) & (1 − ϵ_{q})^{N_{q}} & = & p. \\ c) & (1 − ϵ_{t})^{N_{q}} & = & (1 − ϵ_{t})^{ϕ(q)}. \end{aligned}

Dabei ist ϕ die Eulersche ϕ-Funktion, es ist also ϕ(q) = #G_{q}. \underline{Beweis} Wir schreiben n = qd. Nach Definition des Elementes N_{q} ist

(1 − ϵ_{t}ϵ_{q})^{N_{q}} = ∏_{a≡1 mod d}(1 − ϵ_{t}^{a}ϵ_{q}^{a}).

Da a ≡ 1 mod d und t ein Teiler von d ist, gilt a ≡ 1 mod t, und es ist ϵ_{t}^{a} = ϵ_{t}. Andererseits muß a wegen des Chinesischen Restsatzes jeden Wert modulo q durchlaufen. Die Anwendung von Lemma 5, a ergibt

∏_{a∈G_{q}}(1 − ϵ_{t}ϵ_{q}^{a}) = \frac{1 − ϵ_{t}^{q}}{1 − ϵq̂ ; t},

und es folgt Teil a. Teil b der Aussage folgt analog mit Hilfe von Lemma 5, b. Teil c wird bewiesen durch Betrachtung von N_{q}(d), also dem Element, das man erhält, wenn alle σ_{ν} modulo d reduziert werden. Es ist

N_{q}(d) = ∑_{a≡1 mod d} 1 = ϕ(q).

Es gilt schließlich mit Lemma 3

(1 − ϵ_{t})^{N_{q}} = (1 − ϵ_{t})^{N_{q}(d)} = (1 − ϵ_{t})^{ϕ(q)}.

qed.

\underline{Lemma 7} Es sei q = p^{α} ein primer P-Teiler von n mit α ≥ 2. Sei t ein zu p teilerfremder Teiler von n und ϵ_{tp^{β}} eine primitive tp^{β}-te Einheitswurzel. Dann gilt:

(1 − ϵ_{tp^{β}})^{N_{p}} = \{ \begin{matrix}1 − ϵ_{tp^{α}}^{p} & falls & β = α \\ (1 − ϵ_{tp^{β}})^{p} & falls & β < α \end{matrix} .

\underline{Beweis} Wir schreiben n = pd. Dann sind 1 + 0d, 1 + 1d, …, 1 + (p − 1)d gerade die p Zahlen modulo n, die kongruent 1 modulo d sind. ϵ_{tp^{α}}^{d} ist eine primitive p-te Einheitswurzel. Es folgt im Fall β = α nach Lemma 5, c

(1 − ϵ_{tp^{α}})^{N_{p}} = ∏_{a=0}^{p−1}(1 − ϵ_{tp^{α}}^{1+da}) = ∏_{a=0}^{p−1}(1 − ϵ_{tp^{α}}ϵ_{tp^{α}}^{da}) = 1 − ϵ_{tp^{α}}^{p}.

Im Fall β < α ist ϵ_{tp^{β}}^{d} = 1, und man erhält

(1 − ϵ_{tp^{β}})^{N_{p}} = ∏_{a=0}^{p−1}(1 − ϵ_{tp^{β}}) = (1 − ϵ_{tp^{β}})^{p}.

\underline{Lemma 8} Es seien d und t zwei Teiler von n, so daß d|t gilt und zusätzlich jede Primzahl, die t teilt, auch d teilt (dies ist beispielsweise der Fall, wenn t der zu d gehörige P-Teiler ist). Seien ϵ_{t} und ϵ_{d} beliebige primitive t-te beziehungsweise d-te Einheitswurzeln. Dann existiert ein Element M_{t,d} im Gruppenring ZZG_{n}, so daß

(1 − ϵ_{t})^{M_{t,d}} = 1 − ϵ_{d}

gilt. \underline{Beweis} Wir betrachten zunächst den Fall, daß t/d = p Primzahl ist, ϵ_{t}^{p} ist dann eine primitive d-te Einheitswurzel. Sei σ_{s} ein Automorphismus von Q[ϵ_{t}], der ϵ_{t}^{p} auf ϵ_{d} abbildet. Wir betrachten N_{p} als Element von ZZG_{t} definiert. Sei M′_{t,d} := σ_{s}N_{p}. Es gilt mit Lemma 7:

(1 − ϵ_{t})^{M′_{t,d}} = ((1 − ϵ_{t})^{N_{p}})^{σ_{s}} = (1 − ϵ_{t}^{p})^{σ_{s}} = 1 − ϵ_{d}.

Wir wählen nun M_{t,d} ∈ ZZG_{n}, so daß M_{t,d}(t) = M′_{t,d} gilt. Der allgemeine Fall ergibt sich nun durch wiederholte Betrachtung des obigen Falles. Man schreibt t = p_{1} ⋯ p_{k}d mit Primzahlen p_{ν} und konstruiert sich sukzessive Elemente M_{1}, …, M_{k} ∈ ZZG_{n}, für die jeweils

(1 − ϵ_{p_{ν}···p_{k}d})^{M_{ν}} = (1 − ϵ_{p_{ν+1}···p_{k}d})

gilt. Mit M_{t,d} := M_{1} ⋯ M_{k} folgt die Behauptung.

qed.

1.3 Das System der zyklotomischen Einheiten

Es bezeichne n im folgenden immer eine beliebige, aber feste natürliche Zahl.

Definition (vgl. Washington, S. 143) Es bezeichne UZZ[ϵ_{n}] die Einheitengruppe von ZZ[ϵ_{n}]. Sei ϵ_{n} eine primitive n-te Einheitswurzel. Dann heißt

C^{(n)} := < {±ϵ_{n}, 1 − ϵ_{n}^{a} | a ∈ ZZ} > ∩ UZZ[ϵ_{n}]

die Gruppe der zyklotomischen Einheiten. Ziel dieses Abschnittes ist es, ein Erzeugendensystem dieser Gruppe explizit anzugeben.

\underline{Lemma 1} Es sei d ein Teiler von n und ϵ_{d} eine primitive d-te Einheitswurzel. Dann gilt für ein ν ∈ ZZ, das zu n teilerfremd ist,

\frac{1 − ϵ_{d}^{ν}}{1 − ϵ_{d}} ∈ C^{(n)}.

\underline{Beweis} Es ist ϵ_{d} = ϵ_{n}^{a} für ein geeignetes a ∈ ZZ. Wegen

\frac{1 − ϵ_{d}^{ν}}{1 − ϵ_{d}} = ∑_{i=0}^{ν−1} ϵ_{d}^{i} ∈ ZZ[ϵ_{n}]

liegt dieses Element tatsächlich in ZZ[ϵ_{n}]. Sei nun μ ∈ ZZ, so daß μ invers zu ν modulo d ist, also μν ≡ 1 mod d gilt. Da

(\frac{1 − ϵ_{d}^{ν}}{1 − ϵ_{d}} )^{−1} = \frac{1 − ϵ_{d}}{1 − ϵ_{d}^{ν}} = \frac{1 − ϵ_{d}^{μν}}{1 − ϵ_{d}^{ν}} = ∑_{i=0}^{μ−1} ϵ_{d}^{νi} ∈ ZZ[ϵ_{n}]

ist, folgt die Behauptung.

qed.

\underline{Lemma 2} Sei d ein Teiler von n, aber keine Primzahlpotenz, und sei ϵ_{d} eine primitive d-te Einheitswurzel. Dann ist

1 − ϵ_{d} ∈ C^{(n)}.

\underline{Beweis} Es ist zu zeigen, daß 1 − ϵ_{d} in ZZ[ϵ_{n}] invertierbar ist. Dazu schreibt man d = qt, wobei q = p^{α} ein primer P-Teiler von d ist und ϵ_{d} = ϵ_{q}ϵ_{t}. Es folgt mit Hilfe von N_{q} (Lemma 6, a aus Abschnitt 1.2.5)

∏_{ν∈G_{q}}(1 − ϵ_{t}ϵ_{q}^{ν}) = (1 − ϵ_{t}ϵ_{q})^{N_{q}} = (1 − ϵ_{t})^{σ_{q}(1−σ_{p}^{−1})} = (\frac{1 − ϵ_{t}^{σ_{p}^{−1}}}{1 − ϵ_{t}} )^{−σ_{q}} ,

also

(\frac{1 − ϵ_{t}^{σ_{p}^{−1}}}{1 − ϵ_{t}} )^{σ_{q}} (1 − ϵ_{t}ϵ_{q}) ∏_{ν∈G_{q}\\{σ_{1}\}}(1 − ϵ_{t}ϵ_{q}^{ν}) = 1,

so daß das Inverse zu 1 − ϵ_{d} = 1 − ϵ_{t}ϵ_{q} gerade

(\frac{1 − ϵ_{t}^{σ_{p}^{−1}}}{1 − ϵ_{t}} )^{σ_{q}} ∏_{ν∈G_{q}\\{σ_{1}\}}(1 − ϵ_{t}ϵ_{q}^{ν}) ∈ ZZ[ϵ_{n}]

ist. \underline{Lemma 3} Ist q = p^{α} Primzahlpotenz und ϵ_{q} primitive q-te Einheitswurzel, so ist 1 − ϵ_{q} nie eine Einheit in ZZ[ϵ_{n}]. \underline{Beweis} Wäre 1 − ϵ_{q} Einheit, so auch (1 − ϵ_{q})^{σ_{ν}} für σ_{ν} ∈ G_{q} und schließlich auch

∏_{ν∈G_{q}}(1 − ϵ_{q})^{σ_{ν}} = (1 − ϵ_{q})^{N_{q}}.

Nach Lemma 6, b des vorangegangenen Abschnitts ist (1 − ϵ_{q})^{N_{q}} = p, und p ist sicher nicht in ZZ[ϵ_{n}] invertierbar.

qed.

\underline{Lemma 4} Es sei q = p^{α} ein primer P-Teiler von n und ϵ_{q} eine primitive q-te Einheitswurzel. Ist

u = ∏_{ν∈G_{q}}(1 − ϵ_{q}^{ν})^{a_{ν}} ∈ UZZ[ϵ_{n}],

also invertierbar, dann hat u die Darstellung

u = ∏_{ν∈G_{q}} (\frac{1 − ϵ_{q}^{ν}}{1 − ϵ_{q}} )^{a_{ν}} .

\underline{Beweis} Man schreibt

u = (1 − ϵ_{q})^{∑ a_{ν}} ∏_{ν∈G_{q}} (\frac{1 − ϵ_{q}^{ν}}{1 − ϵ_{q}} )^{a_{ν}} .

Da u ∈ UZZ[ϵ_{n}] ist, und \frac{1 − ϵ_{q}^{ν}}{1 − ϵ_{q}} ∈ UZZ[ϵ_{n}], muß auch (1−ϵ_{q})^{∑ a_{ν}} ∈ UZZ[ϵ_{n}] sein.

Nach dem vorangegangenem Lemma 3 ist (1 − ϵ_{q})^{∑ a_{ν}} nur invertierbar, wenn ∑ a_{ν} verschwindet, und die Behauptung folgt.

qed.

Da jedes Element aus C^{(n)} ein Produkt von Elementen 1 − ϵ_{d}^{ν}, σ_{ν} ∈ G_{d}, und ±ϵ_{n} ist, kann man also ein Erzeugendensystem von C^{(n)} explizit angeben. \underline{Proposition}

Die Gruppe C^{(n)} der zyklotomischem Einheiten wird von den Elementen

\frac{1 − ϵ_{q}^{ν}}{1 − ϵ_{q}} mit q|n und q ist Primzahlpotenz, σ_{ν} ∈ G_{q},

1 − ϵ_{d}^{ν} mit 1 < d|n und d ist keine Primzahlpotenz, σ_{ν} ∈ G_{d},

und ±ϵ_{n} erzeugt. Es wird nun zum Abschluß dieses Abschnittes gezeigt, daß man sich sogar nur auf die Betrachtung von P-Teilern beschränken kann. Satz 2 (Erzeugendensystem von C^{(n)}) Es sei T_{n} die Menge aller P-Teiler von n und P_{n} ⊂ T_{n} die Menge aller primen P-Teiler. Das System der zyklotomischen Einheiten wird erzeugt durch die Menge

E^{(n)} :=  {(1 − ϵ_{t})^{σ_{ν}} | t ∈ T_{n} \ P_{n}, σ_{ν} ∈ G_{t}}
∪ {(1 − ϵ_{q})^{σ_{ν}−1} | q ∈ P_{n}, σ_{ν} ∈ G_{q}}
∪ {±ϵ_{n}}.

\underline{Beweis} Es wird gezeigt, daß sich jedes Element aus der vorangegangenen Proposition durch Elemente aus E^{(n)} darstellen läßt. Sei d ≠ 1 ein beliebiger Teiler von n und t der zu d gehörige P-Teiler von n. Es sei σ_{ν} ∈ G_{t} beliebig. Falls d keine Primzahlpotenz ist, so ist zu zeigen, daß

1 − ϵ_{d}^{ν}

durch Elemente 1 − ϵ_{t}^{μ}, die aus E^{(n)} sind, darstellbar ist. Für jedes g = ∑ a_{μ}σ_{μ} ∈ ZZG_{t} wird das Element

(1 − ϵ_{t})^{g} = ∏_{μ∈G_{t}}(1 − ϵ_{t}^{μ})^{a_{μ}}

durch E^{(n)} erzeugt. Mit Lemma 8 aus dem Abschnitt über elementare Relationen (1.1.2) folgt, daß ein Element M_{t,d} ∈ ZZG_{t} existiert, für das (1 − ϵ_{t})^{M_{t,d}} = 1 − ϵ_{d} ist. Es folgt schließlich

1 − ϵ_{d}^{ν} = (1 − ϵ_{t})^{σ_{ν}M_{d,t}} ∈ < E^{(n)} > .

Ist d Primzahlpotenz, so ist zu zeigen, daß jedes Element der Form

\frac{1 − ϵ_{d}^{ν}}{1 − ϵ_{d}}

durch E^{(n)} erzeugt wird. Es gilt ähnlich dem obigen Fall für jedes g ∈ ΔZZG_{t}, daß (1 − ϵ_{t})^{g} im Erzeugnis von E^{(n)} liegt. Denn jedes g ∈ ΔZZG_{t} hat die Darstellung g = ∑ a_{μ}(σ_{μ} − 1) (Abschnitt 1.1.5, Lemma 5), so daß

(1 − ϵ_{t})^{g} = (∏_{μ≠1}(1 − ϵ_{t})^{σ_{μ}−1})^{a_{μ}}

ist. Mit g = (σ_{ν} − 1)M_{t,d} ∈ ΔZZG_{t} folgt

\frac{1 − ϵ_{d}^{ν}}{1 − ϵ_{d}} = (1 − ϵ_{d})^{σ_{ν}−1} = (1 − ϵ_{t})^{(σ_{ν}−1)M_{t,d}} ∈ < E^{(n)} > .

2 Die Lemmata von Franz und Bass

2.1 Das Lemma von Franz

Das Lemma von Franz ist sowohl für das Lemma von Bass als auch für die Konstruktion des Einheitensystems von Ramachandra grundlegend. Der Beweis dieses Lemmas wird hier zunächst zurückgeführt auf das Nichtverschwinden der Dirichletschen L-Funktion. Für diese Tatsache finden sich in der Literatur verschiedene Beweise. Ein weiterer Beweis, der mit wenig Funktionentheorie auskommt und statt dessen Eigenschaften zyklotomischer Körper ausnutzt, befindet sich im Anhang A dieser Arbeit.

2.1.1 Der Führer eines Charakters modulo n

Zum Beweis des Lemmas von Franz werden Gaußsche Summen benutzt. Für diese ist der Begriff des Führers eines Charakters, wie er im folgenden definiert wird, grundlegend. Sei χ ein Charakter modulo n, das heißt ein Homomorphismus von G_{n} in die multiplikative Gruppe des Körpers der komplexen Zahlen. Es sei χ(a) für a ∈ ZZ, (a, n) = 1 in üblicher Weise definiert als χ(σ_{a}).

\underline{Definition} Sei f die kleinste natürliche Zahl, die n teilt, so daß für alle zu n teilerfremden b ∈ ZZ gilt

b ≡ 1 mod f ⇒ χ(b) = 1.  (∗)

Dann heißt f der Führer von χ mod n. Da die Bedingung zumindest für f = n gilt, ist die Existenz von f gesichert. \underline{Lemma 1} Es gilt für a, b ∈ ZZ, a und b teilerfremd zu n:

a ≡ b mod f ⇒ χ(a) = χ(b).

\underline{Beweis} Sei c das zu a Inverse modulo n, also ca ≡ 1 mod n. Es gilt wegen f|n, daß auch ca ≡ 1 mod f ist. Man erhält so cb ≡ ca ≡ 1 mod f, und nach (∗) folgt χ(cb) = χ(c)χ(b) = 1, also χ(b) = χ(c)^{−1} = χ(a), da a zu c modulo n invers ist.

qed.

Ziel ist es nun, χ als Charakter modulo dem Führer f zu betrachten. Insbesondere muß χ also auch auf jenen Zahlen definiert werden, die zwar teilerfremd zu f sind, aber einen gemeinsamen Teiler mit n haben.

\underline{Lemma 2} Sei a ∈ ZZ, a teilerfremd zum Führer f. Man wähle ein x ∈ ZZ, das zu n teilerfremd ist und für das

x ≡ a mod f

gilt. Definiert man χ auf a durch χ(a) := χ(x), so ist χ Charakter mod f. \underline{Beweis} Sind x und y zwei Zahlen mit x ≡ a mod f und y ≡ a mod f, so ist x ≡ y mod f. Nach Lemma 1 gilt χ(x) = χ(y). Auf dem erweiterten Definitionsbereich ist χ somit eine wohldefinierte Funktion. Daß χ auf dem erweiterten Definitionsbereich Homomorphismus ist, also Charakter modulo f, ist aus der Konstruktion offensichtlich.

qed.

\underline{Definition} Die Erweiterung des Definitionsbereiches eines Charakters gemäß Lemma 2 nennt man “χ als eigentlichen Charakter seines Führers betrachten”. Das folgende Lemma wird später beim Rechnen mit Gaußschen Summen benötigt werden. \underline{Lemma 3} Sei χ ein Charakter modulo n mit Führer f. Sei d ein echter Teiler von f. Dann existiert ein zu f teilerfremdes b ∈ ZZ mit

b ≡ 1 mod d  und  χ(b) ≠ 1.

\underline{Beweis} Sei d ein Teiler von f, für den kein solches b existiert. Mit diesem d folgt für alle zu f teilerfremden Zahlen b mit b ≡ 1 mod d, daß χ(b) = 1 ist. Da f als Führer von χ minimal mit dieser Eigenschaft ist, gilt f ≤ d, so daß d kein echter Teiler von f sein kann.

qed.

2.1.2 Gaußsche Summen

Das Bild eines Charakters modulo f ist immer eine ϕ(f)-te Einheitswurzel, da G_{f} = (ZZ/fZZ)^{∗} eine Gruppe mit ϕ(f) Elementen ist. Andererseits ist G_{f} gerade die Galoisgruppe von Q[ϵ_{f}], des kleinsten Körpers, der gerade die f-ten Einheitswurzeln enthält. Gaußsche Summen sind ein Hilfsmittel, um f-te und ϕ(f)-te Einheitswurzeln miteinander zu verbinden.

Sei χ ein Charakter modulo n. Es werde χ als eigentlicher Charakter modulo seinem Führer f betrachtet. Weiter sei ϵ_{f} eine beliebige, aber feste primitive f-te Einheitswurzel.

\underline{Definition} Sei a ∈ ZZ.

g_{a}(χ) := ∑_{l∈G_{f}} χ(l)ϵ_{f}^{al}

heißt Gaußsche Summe. Das nächste Lemma unterscheidet nun die Fälle, ob a teilerfremd zu f ist oder nicht. \underline{Lemma 4} Es gilt:

a) g_{a}(χ) = 0, falls a und f einen gemeinsamen Teiler haben.

b) g_{a}(χ) = χ(a)^{−1}g_{1}(χ), falls (a, f) = 1.

\underline{Beweis} Zu a: Da a und f einen gemeinsamen Teiler haben, existiert ein echter Teiler d von f, so daß ϵ_{f}^{ad} = 1 ist. Nach Lemma 3 gibt es ein zu f teilerfremdes b mit b ≡ 1 mod d und χ(b) ≠ 1. Schreibt man b = 1 + md mit m ∈ ZZ, so ist ϵ_{f}^{ab} = ϵ_{f}^{a}(ϵ_{f}^{ad})^{m} = ϵ_{f}^{a}. Nun substituiert man in der Summe

g_{a}(χ) = ∑_{l∈G_{f}} χ(l)ϵ_{f}^{al} = ∑_{l∈G_{f}} χ(l)ϵ_{f}^{abl}

k := bl (die Abbildung x ↦ bx ist ein Isomorphismus auf G_{f}) und erhält

g_{a}(χ) = ∑_{k∈G_{f}} χ(kb^{−1})ϵ_{f}^{ak} = χ^{−1}(b) ∑_{k∈G_{f}} χ(k)ϵ_{f}^{ak} = χ^{−1}(b)g_{a}(χ).

Wegen χ(b) ≠ 1 ist auch χ^{−1}(b) ≠ 1, also folgt g_{a}(χ) = 0. Zu b: Analog zum Beweis von a substituiert man jetzt k := al und erhält

g_{a}(χ) = ∑_{k∈G_{f}} χ(ka^{−1})ϵ_{f}^{k} = χ^{−1}(a)g_{1}(χ).

qed.

\underline{Lemma 5} Sei χ Charakter modulo seinem Führer f. Es gilt |g_{1}(χ)|^{2} = f. Insbesondere ist also g_{1}(χ) ≠ 0.

\underline{Beweis} Da |χ(a)| = 1, gilt χ̄(a) = χ(a)^{−1} (der Querstrich bedeutet hier die komplexe Konjugation). Außerdem hat man \overline{ϵ_{f}^{k}} = ϵ_{f}^{−k}. Nach Lemma 4 ist |g_{1}(χ)|^{2} = |g_{a}(χ)|^{2} = g_{a}(χ)ḡ_{a}(χ), falls a und f teilerfremd sind. Summiert man über alle möglichen a ∈ ZZ/fZZ auf und benutzt, daß g_{a}(χ) = 0 für alle nicht zu f teilerfremden a ist, folgt

ϕ(f)|g_{1}(χ)|^{2} = ∑_{a=0}^{f−1} g_{a}(χ)ḡ_{a}(χ)

= ∑_{a=0}^{f−1}(∑_{l} χ(l)ϵ_{f}^{al} ∑_{k} χ̄(k)ϵ_{f}^{−ak})

= ∑_{a=0}^{f−1} ∑_{l,k} χ(l)χ̄(k)ϵ_{f}^{al}ϵ_{f}^{−ak}

= ∑_{l,k} χ(l)χ̄(k) ∑_{a=0}^{f−1} ϵ_{f}^{a(l−k)}.

Ist in der letzten Summe l = k, so ist die innere Summe gerade f. Ist andererseits l ≠ k, so verschwindet die innere Summe (es gilt

∑_{a=0}^{f−1} ϵ_{f}^{a(l−k)} = \frac{ϵ_{f}^{(l−k)f} − 1}{ϵ_{f}^{l−k} − 1} = 0

wegen ϵ_{f}^{l−k} − 1 ≠ 0). Insgesamt wird also ϕ(f)-mal f aufsummiert, da der Fall l = k gerade ϕ(f)-mal auftritt und die anderen Terme keinen Beitrag zur Summe liefern. Man hat schließlich

ϕ(f)|g_{1}(χ)|^{2} = ϕ(f)f,

und die Behauptung folgt.

qed.

\underline{Lemma 6} Sei χ jetzt auf ganz ZZ definiert durch die übliche Festsetzung χ(a) = 0, falls a und f nicht teilerfremd sind. Für ein beliebiges a ∈ ZZ gilt dann

χ̄(a)g_{1}(χ) = g_{a}(χ),

mit anderen Worten

χ̄(a) = \frac{g_{a}(χ)}{g_{1}(χ)}.

\underline{Beweis} Nach Lemma 5 ist g_{1}(χ) ≠ 0. Für teilerfremdes a und f gilt so die Behauptung mit Lemma 4, b (es ist χ̄ = χ^{−1}). Sonst folgt sie, da beide Seiten gleich 0 sind.

qed.

2.1.3 Eine Darstellung der Dirichletschen L-Funktion im Punkte 1

Sei χ ein Charakter modulo n, als eigentlicher Charakter seines Führers f betrachtet. Wir definieren χ wie im vorhergehenden Abschnitt als Funktion über ZZ durch die Festlegung χ(a) := χ(σ_{a}), falls a und f teilerfremd sind, und χ(a) = 0 sonst. Die Dirichletsche L-Funktion ist im Punkte 1 definiert durch die unendliche Reihe

L(1, χ) = ∑_{a=1}^{∞} \frac{χ(a)}{a}.

Daß diese Reihe tatsächlich konvergiert, wird im Anhang A, Lemma 1 gezeigt. Die folgende Darstellung dieser Reihe, die wir zum Beweis des Lemmas von Franz benötigen, findet sich bei Franz, S. 254 und geht ursprünglich auf E. Hecke zurück. \underline{Lemma 7} Sei χ ein gerader Charakter (das heißt, es gilt χ(σ_{−1}) = 1), aber nicht der Hauptcharakter. Es werde χ als eigentlicher Charakter seines Führers f betrachtet. Es sei ϵ_{f} eine primitive f-te Einheitswurzel. Dann gilt für die Dirichletsche L-Funktion

L(1, χ̄) = \frac{−1}{g_{1}(χ)} ∑_{k∈G_{f}} χ(k) log |1 − ϵ_{f}^{k}|.

\underline{Beweis} Wir betrachten zunächst den Logarithmus auf der rechten Seite. Allgemein hat man für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus die Reihenentwicklung

log(1 − x) = − ∑_{a=1}^{∞} \frac{x^{a}}{a} ,

falls x im Inneren des Einheitskreises liegt. Liegt x auf dem Rand des Einheitskreises, wie es der Fall ist, wenn x = ϵ_{f} Einheitswurzel ist, so gilt die Entwicklung nach dem Abelschen Grenzwertsatz (vgl. Endl/Luh, S. 179) immer noch, wenn x ≠ 1 ist (das heißt, die Reihe konvergiert auch in diesem Fall). Die Additionstheoreme sind jedoch für komplexes Argument nicht mehr so gültig, wie man es vom reellen her gewohnt ist. Es gilt nur noch log(x) + log(y) = log(xy) + 2πim für ein geeignetes, von x und y abhängiges m ∈ ZZ. Man erhält, da (1 − ϵ_{f}^{k})(1 − ϵ_{f}^{−k}) = |1 − ϵ_{f}^{k}|^{2} ist,

2 log |1 − ϵ_{f}^{k}| = log |1 − ϵ_{f}^{k}|^{2} = log ((1 − ϵ_{f}^{k})(1 − ϵ_{f}^{−k}))

= 2πim + log(1 − ϵ_{f}^{k}) + log(1 − ϵ_{f}^{−k}) = 2πim − ∑_{a=1}^{∞} \frac{ϵ_{f}^{ak}}{a} − ∑_{a=1}^{∞} \frac{ϵ_{f}^{−ak}}{a}

mit irgendeiner ganzen Zahl m. Es sind ϵ_{f}^{−k} und ϵ_{f}^{k} zueinander komplex konjugiert. Also ist

∑_{a=1}^{∞} \frac{ϵ_{f}^{ak}}{a} + ∑_{a=1}^{∞} \frac{ϵ_{f}^{−ak}}{a} = ∑_{a=1}^{∞} \frac{ϵ_{f}^{ak} + ϵ_{f}^{−ak}}{a}

reell, da ϵ_{f}^{ak} + ϵ_{f}^{−ak} reell ist. Es folgt

2πim = ∑_{a=1}^{∞} \frac{ϵ_{f}^{ak} + ϵ_{f}^{−ak}}{a} + 2 log |1 − ϵ_{f}^{k}| ∈ IR,

also m = 0, und man erhält

−2 log |1 − ϵ_{f}^{k}| = ∑_{a=1}^{∞} \frac{ϵ_{f}^{ak}}{a} + ∑_{a=1}^{∞} \frac{ϵ_{f}^{−ak}}{a} .  (∗)

Sei nun M ∈ IN beliebig. Mit L^{M}(1, χ) sei die endliche Summe

L^{M}(1, χ) = ∑_{a=1}^{M} \frac{χ(a)}{a}

bezeichnet. Setzt man gemäß Lemma 6 aus Abschnitt 2.1.2 über Gaußsche Summen

χ̄(a) = \frac{g_{a}(χ)}{g_{1}(χ)},

wobei g_{a}(χ) = ∑_{k∈G_{f}} χ(k)ϵ_{f}^{ak} war, erhält man

L^{M}(1, χ̄) = \frac{1}{g_{1}(χ)} ∑_{a=1}^{M} \frac{g_{a}(χ)}{a} = \frac{1}{g_{1}(χ)} ∑_{a=1}^{M} ∑_{k∈G_{f}} \frac{χ(k)ϵ_{f}^{ak}}{a}

= \frac{1}{g_{1}(χ)} ∑_{k∈G_{f}} χ(k) ∑_{a=1}^{M} \frac{ϵ_{f}^{ak}}{a} .

Da wir für den Charakter χ(σ_{−1}) = 1 (und damit χ(k) = χ(−k)) vorausgesetzt haben, gilt, wenn man −k statt k einsetzt,

L^{M}(1, χ̄) = \frac{1}{g_{1}(χ)} ∑_{k∈G_{f}} χ(k) ∑_{a=1}^{M} \frac{ϵ_{f}^{−ak}}{a} .

Faßt man dies zusammen, ergibt sich

2L^{M}(1, χ̄) = \frac{1}{g_{1}(χ)} ∑_{k∈G_{f}} χ(k) (∑_{a=1}^{M} \frac{ϵ_{f}^{ak}}{a} + ∑_{a=1}^{M} \frac{ϵ_{f}^{−ak}}{a} ) .

Mit M → ∞ und (∗) folgt die Behauptung.

qed.

2.1.4 Formulierung und Beweis des Lemmas von Franz

Das folgende Lemma ist etwas allgemeiner als das Lemma in der Originalfassung (vgl. Franz, S. 253).

Lemma von Franz Mit ϵ_{d} seien beliebige, aber feste primitive d-te Einheitswurzeln bezeichnet. Gelten für ein g = ∑ a_{ν}σ_{ν} ∈ ZZG_{n} die Voraussetzungen

a_{ν} = a_{−ν}  für alle σ_{ν} ∈ G_{n},
(1 − ϵ_{d})^{g} = 1  für alle P-Teiler d von n,

dann folgt g = 0, das heißt a_{ν} = 0 für alle σ_{ν}.

Franz fordert zusätzlich ∑ a_{ν} = 0 und (1 − ϵ_{d})^{g} = 1 für alle Teiler d von n. Diese Bedingungen sind, wie wir unten sehen werden, redundant. Ansonsten folgt der Beweis im wesentlichen dem Beweis des Lemmas im Original.

\underline{Beweis} Zunächst wird hier die Behauptung des Lemmas auf das Nichtverschwinden der Dirichletschen L-Funktion im Punkte 1 zurückgeführt. Ein Beweis dieser in der Zahlentheorie öfter verwendeten Tatsache befindet sich im Anhang A. Nach Teil c des Satzes über die Charakterisierung von Einheiten in Gruppenringen (Satz 1) genügt es zu zeigen, daß χ(g) = 0 für jeden Character χ von G_{n} gilt. Zunächst wird dies für den Hauptcharakter gezeigt. Das heißt, es ist zu zeigen, daß aug(g) = ∑ a_{ν} = 0 gilt. Sei dazu q = p^{α} ein primer P-Teiler von n. Dann gilt nach Voraussetzung (1 − ϵ_{q})^{g} = 1. Darauf wenden wir das Element N_{q} an, und es gilt mit Lemma 6, b aus dem Abschnitt 1.2.5 über elementare Relationen

1 = (1 − ϵ_{q})^{gN_{q}} = ((1 − ϵ_{q})^{N_{q}})^{g} = p^{g} = p^{aug(g)},

also p^{aug(g)} = 1 und somit aug(g) = 0. Falls für einen Charakter χ(σ_{−1}) = −1 gilt, so ist χ(σ_{ν}) = −χ(σ_{−ν}). Für einen solchen Charakter ist ∑ a_{ν}χ(σ_{ν}) = 0 auf Grund der Voraussetzung a_{ν} = a_{−ν}. Sei also χ(σ_{−1}) = 1 und χ nicht der Hauptcharakter. Wir betrachten χ als eigentlichen Charakter seines Führers f. Sei g(f) = ∑ b_{μ}σ_{μ}, so daß also b_{μ} = ∑_{ν≡μ mod f} a_{ν} ist. Dann gilt

χ(g) = ∑_{ν∈G_{n}} a_{ν}χ(σ_{ν}) = ∑_{μ∈G_{f}} ∑_{ν≡μ mod f} a_{ν}χ(σ_{μ}) = ∑_{μ∈G_{f}} b_{μ}χ(σ_{μ}) = χ(g(f)).

Es ist χ(g(f)) = 0 zu zeigen. Dazu beweisen wir zunächst

∏_{μ∈G_{f}}(1 − ϵ_{f}^{lμ})^{b_{μ}} = 1  (∗)

für alle σ_{l} ∈ G_{f}: Es sei d der zu f gehörige P-Teiler von n. Mit dem in Abschnitt 1.2.5, Lemma 8 konstruierten Element M_{d,f}, für das (1 − ϵ_{d})^{M_{d,f}} = 1 − ϵ_{f} gilt, ist

1 = (1 − ϵ_{d})^{gM_{d,f} σ_{l}} = (1 − ϵ_{f}^{l})^{g} = (1 − ϵ_{f}^{l})^{g(f)} = ∏_{μ∈G_{f}}(1 − ϵ_{f}^{lμ})^{b_{μ}},

und (∗) folgt. Bildet man Beträge und logarithmiert die Gleichung (∗), so erhält man

∑_{μ∈G_{f}} b_{μ} log |1 − ϵ_{f}^{μl}| = 0

und somit auch

∑_{l∈G_{f}} χ̄(σ_{l}) ∑_{μ∈G_{f}} b_{μ} log |1 − ϵ_{f}^{μl}| = ∑_{μ∈G_{f}} b_{μ} ∑_{l∈G_{f}} χ̄(σ_{l}) log |1 − ϵ_{f}^{μl}| = 0.

Mit der Substitution k := μl, also σ_{l} = σ_{μ}^{−1}σ_{k}, folgt

∑_{μ∈G_{f}} b_{μ} ∑_{k∈G_{f}} χ̄(σ_{μ}^{−1}σ_{k}) log |1 − ϵ_{f}^{k}|

= ( ∑_{μ∈G_{f}} b_{μ}χ̄(σ_{μ}^{−1})) ( ∑_{k∈G_{f}} χ̄(σ_{k}) log |1 − ϵ_{f}^{k}|) = 0,

und wegen χ̄(σ_{μ}^{−1}) = χ(σ_{μ}) ergibt sich

χ(g(f)) ( ∑_{k∈G_{f}} χ̄(σ_{k}) log |1 − ϵ_{f}^{k}|) = 0.

Nach Lemma 7 gilt für den zweiten Faktor die Darstellung

∑_{k∈G_{f}} χ̄(σ_{k}) log |1 − ϵ_{f}^{k}| = −g_{1}(χ̄)L(1, χ) ≠ 0

mit der Gaußschen Summe g_{1}(χ̄) und der Dirichletschen L-Funktion L(1, χ), die beide ungleich Null sind (Lemma 5 in Abschnitt 2.1.1 und Satz 8 in Anhang A). Es folgt, daß der erste Faktor verschwindet, also χ(g(f)) = 0.

qed.

2.1.5 Das Ideal ZZG_{n}^{+}

\underline{Definition} Sei ZZG_{n} der Gruppenring zu ZZ und G_{n}. Dann heißt

ZZG_{n}^{+} := (1 + σ_{−1})ZZG_{n}

das symmetrische Ideal von ZZG_{n}. \underline{Lemma 8} Im Fall n > 2, also im Fall, daß 1 und σ_{−1} verschieden sind, gilt für ein g = ∑ a_{ν}σ_{ν} ∈ ZZG_{n}:

g ∈ ZZG_{n}^{+} ⇔ a_{ν} = a_{−ν}.

\underline{Beweis} Es gilt für h = ∑ b_{ν}σ_{ν} ∈ ZZG_{n} beliebig

(1 + σ_{−1})h = ∑(b_{ν} + b_{−ν})σ_{ν}.

Da b_{ν} + b_{−ν} = b_{−ν} + b_{ν} ist, folgt “⇒”. Hat man umgekehrt g = ∑ a_{ν}σ_{ν} ∈ ZZG_{n} mit a_{ν} = a_{−ν}, so schreibt man

g = (1 + σ_{−1}) ∑_{\begin{matrix}0<ν<n/2 \\ (ν,n)=1 \end{matrix}} a_{ν}σ_{ν},

und es folgt “⇐”.

qed.

Mit dieser Definition und Lemma 8 liest sich das Lemma von Franz wie folgt: Lemma von Franz (alternative Formulierung) Es sei g ∈ ZZG_{n}^{+}, und es gelte für alle P-Teiler d von n

(1 − ϵ_{d})^{g} = 1,

so ist g = 0. \underline{Korollar} Sei g = ∑ a_{ν}σ_{ν} ∈ ZZG_{n} beliebig, und es gelte für alle P-Teiler d von n

(1 − ϵ_{d})^{g} = 1,

so ist (1 + σ_{−1})g = 0, das heißt, für alle σ_{ν} ∈ G_{n} gilt a_{ν} = −a_{−ν}. \underline{Beweis} Mit (1 − ϵ_{d})^{g} = 1 ist auch (1 − ϵ_{d})^{(1+σ_{−1})g} = 1. Da

(1 + σ_{−1})g = (1 + σ_{−1}) ∑ a_{ν}σ_{ν} = ∑(a_{ν} + a_{−ν})σ_{ν}

ist, folgt nach dem Lemma von Franz a_{ν} + a_{−ν} = 0, also a_{ν} = −a_{−ν}. qed.

2.1.6 Skizze einer Anwendung des Lemmas von Franz auf Gruppenringe mit zyklischer Gruppe

Es sei C_{n} =< x > die von x erzeugte zyklische Gruppe der Ordnung n und ZZC_{n} der Gruppenring zu ZZ und C_{n}. Die Gruppe der Einheiten von ZZC_{n} sei mit UZZC_{n} bezeichnet. Man definiert ganz analog, wie wir es für den Ring ZZ[ϵ_{n}] getan haben (vgl. Abschnitt 1.2.2), zur Einheit u = ∑ r_{μ}x^{μ} ∈ UZZC_{n} und zu g = ∑ a_{ν}σ_{ν} ∈ ZZG_{n} die Bezeichnungsweise

u^{g} := ∏_{ν∈G_{n}} (∑_{μ=0}^{n−1} r_{μ}x^{μν}) ∈ UZZC_{n}.

Man rechnet nach, daß mit dieser Definition die gleichen “Potenzgesetze” gelten, wie sie im Ring ZZ[ϵ_{n}] hergeleitet wurden. Ist w eine Einheit in ZZC_{n}, so ist die Abbildung

\begin{aligned}κ_{w} : & ΔZZG_{n}^{+} & → & UZZC_{n} \\ & g & ↦ & w^{g} \end{aligned}

ein Homomorphismus von der additiven Gruppe ΔZZG_{n}^{+} in die Einheitengruppe UZZC_{n} (dabei bezeichnet ΔZZG_{n}^{+} alle Elemente aus ZZG_{n}^{+} mit Augmentation 0). Für einen Teiler d von n bezeichne χ_{d} den Charakter von C_{n}, der x auf ϵ_{d} abbildet. Gilt für w zusätzlich

χ_{d}(w) = (1 − ϵ_{d})^{h}

(dabei darf h nicht von d abhängen), so kann man Aussagen über die Injektivität von κ_{w} machen. Ist nämlich κ_{w}(g) = 1 für ein g ∈ ΔZZG_{n}^{+}, so ist

(1 − ϵ_{d})^{hg} = 1

für jeden Teiler d von n, und mit dem Lemma von Franz folgt hg = 0. Ist h in ΔZZG_{n}^{+} kein Nullteiler, so folgt g = 0, und die Abbildung κ_{w} ist in diesem Fall injektiv. Zum Schluß dieses Abschnitts wird nach einer Methode von Klaus Hoechsmann explizit ein solches w ∈ ZZC_{n} konstruiert. Es werden anschließend Bedingungen für das zugehörige h herausgearbeitet, unter denen h kein Nullteiler in ΔZZG_{n}^{+} ist. Wir können uns das Rechnen im Gruppenring ZZC_{n} so vorstellen, als ob wir im Polynomring ZZ[x] rechnen mit der zusätzlichen Relation x^{n} = 1. Es sei f_{b}(x) für b ∈ IN definiert durch

f_{b}(x) = ∑_{i=0}^{b−1} x^{i}.

Für jedes b, c ∈ IN und g ∈ ZZC_{n} gilt

f_{b}(x)f_{c}(x^{b}) = f_{bc}(x),
gf_{n}(x) = aug(g)f_{n}(x).

Seien nun b und c so gewählt, daß c invers zu b modulo n ist, so daß also ein k ∈ ZZ existiert mit cb = 1 + kn. Es folgt

f_{b}(x)f_{c}(x^{b}) = f_{bc}(x) = 1 + ∑_{i=1}^{kn} x^{i} = 1 + kf_{n}(x).

Die Einheit w_{b} wird definiert durch

w_{b} := f_{c}(x)f_{b}(x) − kf_{n}(x).  (∗)

Das Inverse zu w_{b} ist

w_{b}^{−1} = f_{c}(x^{b})f_{b}(x^{c}) − kf_{n}(x),

wie man folgendermaßen nachrechnet:

w_{b}w_{b}^{−1} = (f_{c}(x)f_{b}(x) − kf_{n}(x))(f_{c}(x^{b})f_{b}(x^{c}) − kf_{n}(x))
= f_{c}(x)f_{b}(x^{c})f_{b}(x)f_{c}(x^{b}) − f_{c}(x)f_{b}(x)kf_{n}(x)
−f_{c}(x^{b})f_{b}(x^{c})kf_{n}(x) + k^{2}f_{n}(x)f_{n}(x)
= (1 + kf_{n}(x))(1 + kf_{n}(x)) − cbkf_{n}(x) − cbkf_{n}(x) + k^{2}nf_{n}(x)
= (1 + kf_{n}(x))(1 + kf_{n}(x)) − 2(1 + kn)kf_{n}(x) + k^{2}nf_{n}(x)
= 1 + 2kf_{n}(x) + nk^{2}f_{n}(x) − 2kf_{n}(x) − 2k^{2}nf_{n}(x) + k^{2}nf_{n}(x) = 1.

Das zu diesem w_{b} gehörige h wird wie folgt hergeleitet. Sei d ≠ 1 ein Teiler von n. Der Charakter χ_{d} ordnet x gerade eine primitive d-te Einheitswurzel zu. Für ein a ∈ IN ist

χ_{d}(f_{a}(x)) = ∑_{i=0}^{a−1} ϵ_{d}^{i} = \frac{1 − ϵ_{d}^{a}}{1 − ϵ_{d}} ,

so daß

χ_{d}(f_{b}(x)) = (1 − ϵ_{d})^{(σ_{b}−1)}

und

χ_{d}(f_{n}(x)) = 0

gilt. Es folgt

χ_{d}(w_{b}) = χ_{d}(f_{b}(x))χ_{d}(f_{c}(x)) − kχ_{d}(f_{n}(x)) = (1 − ϵ_{d})^{(σ_{b}−1)(σ_{c}−1)}.

Somit ist h = (σ_{b} − 1)(σ_{c} − 1). Es ist jetzt zu klären, wie b gewählt werden muß, damit g = 0 folgt, falls g ∈ ΔZZG_{n}^{+} und gh = 0 ist (also κ_{w} injektiv ist). Wir werden dazu Teil c des Satzes über die Charakterisierung von Einheiten (Abschnitt 1.1.4) anwenden, der besagt, daß genau dann g = 0 ist, wenn χ(g) für jeden Charakter χ von G_{n} verschwindet. (Man muß hier Charaktere χ von G_{n} unterscheiden von Charakteren χ_{d} von C_{n}!) Sei also χ ein beliebiger Charakter auf der Gruppe G_{n}. Da b und c modulo n invers sind, ist χ(σ_{b}) = 1 genau dann, wenn χ(σ_{c}) = 1 ist. Im Falle χ(σ_{b}) ≠ 1 folgt dementsprechend

χ(h) = (χ(σ_{b}) − 1)(χ(σ_{c}) − 1) ≠ 0.

Und es gilt für einen solchen Charakter

χ(gh) = 0 ⇒ χ(g)χ(h) = 0 ⇒ χ(g) = 0.

Ist χ der Hauptcharakter oder gilt χ(σ_{−1}) = −1, so ist χ(g) = 0, da g ∈ ΔZZG_{n}^{+} ist. Wir wollen dies in einem Satz zusammenfassen.

Satz 3 (Injektivität von κ_{w}) Seien n ∈ IN und σ_{b} ∈ G_{n}. Es gelte für jeden Charakter χ von G_{n} eine der drei folgenden Bedingungen a,b oder c:

a) χ ≡ 1, das heißt χ ist Hauptcharakter,

b) χ(σ_{−1}) = −1,

c) χ(σ_{b}) ≠ 1.

Sei nun zu diesem b eine Einheit w := w_{b} ∈ UZZC_{n} gemäß (∗) konstruiert. Dann ist die Abbildung

\begin{aligned}κ_{w} : & ΔZZG_{n}^{+} & → & UZZC_{n} \\ & g & ↦ & w^{g} \end{aligned}

injektiv. Umgekehrt ist κ nicht injektiv, falls es einen Charakter χ von G_{n} gibt, der keine der Bedingungen a-c erfüllt. \underline{Beweis} Es bleibt nach dem oben Gesagten die Umkehrung des Satzes zu zeigen. Sei χ̂ ein Charakter für den keine der Bedingungen a-c gilt. Das heißt, es ist für ein geeignetes σ_{a} ∈ G_{n}

a) χ̂(σ_{a}) ≠ 1, da χ̂ nicht der Hauptcharakter ist,

b) χ̂(σ_{−1}) = 1,

c) χ̂(σ_{b}) = 1.

Sei nun m ∈ IN, so daß σ_{b}^{m} = 1 gilt (zum Beispiel m = ϕ(n)). Dann wird g definiert durch

g := (1 + σ_{−1})(σ_{a} − σ_{b}) ∑_{i=0}^{m−1} σ_{b}^{i} ∈ ΔZZG_{n}^{+}.

Es ist g ≠ 0, da

\begin{matrix}χ̂(g) = & χ̂(1 + σ_{−1}) & χ̂(σ_{a} − σ_{b}) & χ̂( ∑_{i=0}^{m−1} σ_{b}^{i}) \\ = & 2 & (χ̂(σ_{a}) − 1) & m & ≠ 0. \end{matrix}

Andererseits ist gh = 0, da

(σ_{b} − 1) ∑_{i=0}^{m−1} σ_{b}^{i} = ∑_{i=0}^{m−1}(σ_{b}^{i+1} − σ_{b}^{i}) = σ_{b}^{m} − 1 = 0

ist. Für jeden Charakter χ_{d} von C_{n} gilt daher

χ_{d}(w^{g}) = (1 − ϵ_{d})^{hg} = (1 − ϵ_{d})^{0} = 1,

und nach dem Satz über die Charakterisierung von Einheiten in Gruppenringen, Teil d, folgt w^{g} = 1, also κ(g) = w^{g} = 1. Da g ungleich Null ist, kann κ nicht injektiv sein.

qed.

Es stellt sich schließlich die Frage, ob überhaupt σ_{b} ∈ G_{n} existieren, so daß κ_{w} injektiv ist. Ist n = p^{α} oder n = 2p^{α} mit einer Primzahl p, so kann σ_{b} so gewählt werden, daß σ_{b} eine Primitivwurzel (also ein Erzeuger) von G_{n} ist. Mit dieser Wahl folgt aus χ(σ_{b}) = 1, daß χ der Hauptcharakter ist. Es ist also für jeden Charakter eine der Bedingungen a oder c erfüllt. Im allgemeinen Fall ist es hinreichend, daß G_{n} von den Elementen σ_{b} und σ_{−1} erzeugt wird (die einzige Möglichkeit, zu verhindern, daß χ mit χ(σ_{b}) = 1 nicht der Hauptcharakter ist, besteht darin, χ(σ_{−1}) = −1 zu definieren). Das ist beispielsweise für n = 15 und b = 2 der Fall.

2.2 Das Lemma von Bass

Das Lemma von Bass ist eine Verallgemeinerung des Lemmas von Franz in dem Sinne, daß nicht nur das Produkt über Ausdrücke 1−ϵ_{n}^{a} für ein zu n teilerfremdes a gebildet wird, sondern alle a zwischen 0 und n − 1 auftauchen. Im Rahmen dieser Arbeit ist es interessant, da der hier geführte Beweis im Unterschied zur Originalversion (vgl. Bass, S. 401, Th. 3) mit dem Gruppenring ZZG_{n} arbeitet.

2.2.1 Formulierung und Beweis des Lemmas von Bass

Lemma von Bass Sei ϵ_{n} eine beliebige, aber feste primitive n-te Einheitswurzel. Für jeden Teiler von n sei ϵ_{d} := ϵ_{n}^{n/d} und g_{d} aus ZZG_{d}^{+}. Gilt für jedes a|n die Relation

_{d|n}^{∏′}(1 − ϵa d)^{g_{d}} = 1,  (∗)

so folgt

g_{d} = 0

für alle d > 1. Der Strich am Produktzeichen bedeute dabei, daß das Produkt nur über die Faktoren gebildet wird, die ungleich 0 sind, für die also ϵ_{d}^{a} ≠ 1 ist.

\underline{Beweis} Zunächst zeigen wir, daß die Voraussetzung “(∗) gilt für a|n” äquivalent zur Voraussetzung “(∗) gilt für a ∈ ZZ” ist. Sei also a ∈ ZZ. Wir schreiben a ≡ sb mod n, so daß b ein Teiler von n ist und s zu n teilerfremd (dies ist möglich, wenn man b = (a, n) setzt und s so wählt, daß \frac{a}{b} ≡ s mod \frac{n}{b} und (s, n) = 1 ist). Es gilt dann

\begin{matrix}∏ & ′ \\ d|n \end{matrix}(1 − ϵ_{d}^{a})^{g_{d}} = \begin{matrix}∏ & ′ \\ d|n \end{matrix}(1 − ϵ_{d}^{b})^{σ_{s}g_{d}} = 1^{σ_{s}} = 1.

Der Beweis des Lemmas von Bass läuft nun so ab, daß mit Induktion g_{d} = 0 für 1 < d < n gezeigt wird. Damit folgt die Behauptung aus dem Lemma von Franz. Es werden auf zwei verschiedene Arten die Voraussetzungen geschaffen, um das Lemma von Bass für einen Teiler von n anzuwenden. Für n = p Primzahl ist das Lemma von Bass identisch mit dem Lemma von Franz. Die Induktion ist somit für jede Primzahl verankert. Wir schreiben nun n = qt. Dabei ist q = p^{α} ein primer P-Teiler von n. Mit (∗) für a := pb und b ∈ ZZ beliebig gilt

1 = \begin{matrix}∏ & ′ \\ d|n \end{matrix}(1 − ϵ_{d}^{pb})^{g_{d}}

= \begin{matrix}∏ & ′ \\ d|t \end{matrix} ((1 − ϵ_{d}^{pb})^{g_{d}}(1 − ϵ_{dp}^{pb})^{g_{dp}}(1 − ϵ_{dp^{2}}^{pb})^{g_{dp^{2}}} ⋯ (1 − ϵ_{dp^{α}}^{pb})^{g_{dp^{α}}} ) .

Wegen ϵ_{dp^{β}}^{p} = ϵ_{dp^{β−1}} ist also

\begin{aligned}1 = & \begin{matrix}∏ & ′ \\ d|t \end{matrix} ((1 − ϵ_{d}^{b})^{σ_{p}g_{d}}(1 − ϵ_{d}^{b})^{g_{dp}(d)}(1 − ϵ_{dp}^{b})^{g_{dp^{2}} (dp)} ⋯ \\ & ⋯ (1 − ϵ_{dp^{α−1}}^{b})^{g_{dp^{α}} (dp^{α−1})}) & = \begin{matrix}∏ & ′ \\ d|(n/p) \end{matrix}(1 − ϵ_{d}^{b})^{h_{d}}, \end{aligned}

wobei

h_{d} = \{ \begin{matrix}σ_{p}g_{d} + g_{dp}(d) & falls p | d̸ \\ g_{dp}(d) & falls p|d \end{matrix}

ist. Mit dem Lemma von Bass für n/p folgt h_{d} = 0 für 1 < d ≤ n/p. Für g_{dp}(d) bedeutet das

g_{dp}(d) = −σ_{p}g_{d} falls p | d̸
und g_{dp}(d) = 0  falls p|d.

(∗∗)

Sei jetzt n = pt. Wir benutzen das Element N_{p}, das im Abschnitt über elementare Relationen definiert wurde und unterscheiden die Fälle p|t und p | t̸. p | t̸: Für das Element N_{p} gilt nach Abschnitt 1.2.5, Lemma 6 (unter Verwen-

dung von ϵ_{dp} = ϵ_{d}^{σ_{p}^{−1}}ϵ_{p}^{σ_{d}^{−1}}):

(1 − ϵ_{dp})^{N_{p}} = (1 − ϵ_{d})^{(1−σ_{p}^{−1})}
(1 − ϵ_{d})^{N_{p}} = (1 − ϵ_{d})^{ϕ(p)}
(1 − ϵ_{p})^{N_{p}} = p.

Sei nun b ein beliebiger Teiler von t. Man erhält

1 = \begin{matrix}∏ & ′ \\ d|n \end{matrix}((1 − ϵ_{d}^{b})^{g_{d}})^{N_{p}}

= (1 − ϵ_{p}^{b})^{N_{p}g_{p}} \begin{matrix}∏ & ′ \\ 1<d|t \end{matrix} ((1 − ϵ_{d}^{b})^{N_{p}g_{d}}(1 − ϵ_{dp}^{b})^{N_{p}g_{dp}})

= p^{g_{p}} \begin{matrix}∏ & ′ \\ 1<d|t \end{matrix} ((1 − ϵ_{d}^{b})^{ϕ(p)g_{d}}(1 − ϵ_{d}^{b})^{(1−σ_{p}^{−1})g_{dp}})

= p^{aug(g_{p})} \begin{matrix}∏ & ′ \\ d|t \end{matrix}(1 − ϵ_{d}^{b})^{k_{d}}.

Dabei ist

k_{d} = ϕ(p)g_{d} + (1 − σ_{p}^{−1})g_{dp}(d) ∈ ZZG_{t}.

Es ist aug(g_{p}) = 0: Dazu schreiben wir t = q_{1} ⋯ q_{m} mit primen P-Teilern q_{i} = p_{i}^{α_{i}} und wenden auf den Term

p^{aug(g_{p})} \begin{matrix}∏ & ′ \\ d|t \end{matrix}(1 − ϵ_{d}^{b})^{k_{d}}

sukzessive die Elemente N_{q_{1}} bis N_{q_{m}} an. So ergibt sich

1 = p^{ϕ(q_{1})···ϕ(q_{m})aug(g_{p})}p_{1}^{s_{1}} ⋯ p_{m}^{s_{m}}

mit irgendwelchen ganzen Zahlen s_{1}, … s_{m}. Da die p_{i} alle ungleich p sind, muß ϕ(q_{1}) ⋯ ϕ(q_{m})aug(g_{p}) verschwinden, also ist aug(g_{p}) = 0. Man erhält so

\begin{matrix}∏ & ′ \\ d|t \end{matrix}(1 − ϵ_{d}^{b})^{k_{d}} = 1

und nach der Induktionsvoraussetzung k_{d} = 0 für 1 < d ≤ t. Wegen (∗∗) ist g_{dp}(d) = −σ_{p}g_{d}, und es gilt

0 = k_{d} = ϕ(p)g_{d} + (1 − σ_{p}^{−1})g_{dp}(d)
= (p − 1)g_{d} + (1 − σ_{p}^{−1})(−σ_{p}g_{d})
= (p − σ_{p})g_{d}.

Nach dem Satz über die Charakterisierung von Einheiten in Gruppenringen ist p − σ_{p} in QG_{d} kein Nullteiler (es gilt für jeden Charakter χ von G_{d}, daß |p − χ(σ_{p})| ≥ p − |χ(σ_{p})| = p − 1 > 0 ist), und es folgt g_{d} = 0 für 1 < d ≤ t.

p|t: Mit dem Element N_{p} gilt in diesem Fall (Abschnitt 1.2.5, Lemma 7)

(1 − ϵ_{dp^{β}})^{N_{p}} = \{ \begin{matrix}1 − ϵ_{dp^{α−1}} & falls & β = α \\ (1 − ϵ_{dp^{β}})^{p} & falls & β < α \end{matrix}

für jedes zu p teilerfremde d. Dabei ist α der maximale p-Anteil von n, das heißt, q = p^{α} ist primer P-Teiler von n. Wir schreiben n = p^{α}s. Sei b ein Teiler von t. Für p | b̸ gilt

1 = \begin{matrix}∏ & ′ \\ d|n \end{matrix}(1 − ϵ_{d}^{b})^{g_{d}N_{p}} = \begin{matrix}∏ & ′ \\ d|t \end{matrix}(1 − ϵ_{d}^{b})^{g_{d}N_{p}} \begin{matrix}∏ & ′ \\ d|s \end{matrix}(1 − ϵ_{dp^{α}}^{b})^{g_{dp^{α}} N_{p}}

= \begin{matrix}∏ & ′ \\ d|t \end{matrix}(1 − ϵ_{d}^{b})^{pg_{d}} \begin{matrix}∏ & ′ \\ d|s \end{matrix}(1 − ϵ_{dp^{α−1}}^{b})^{g_{dp^{α}} (dp^{α−1})}

und für p|b

1 = \begin{matrix}∏ & ′ \\ d|n \end{matrix}(1 − ϵ_{d}^{b})^{g_{d}N_{p}} = \begin{matrix}∏ & ′ \\ d|t \end{matrix}(1 − ϵ_{d}^{b})^{g_{d}N_{p}} \begin{matrix}∏ & ′ \\ d|s \end{matrix}(1 − ϵ_{dp^{α}}^{b})^{g_{dp^{α}} N_{p}}

= \begin{matrix}∏ & ′ \\ d|t \end{matrix}(1 − ϵ_{d}^{b})^{pg_{d}} \begin{matrix}∏ & ′ \\ d|s \end{matrix}(1 − ϵ_{dp^{α−1}}^{b/p})^{g_{dp^{α}} (dp^{α−1})N_{p}}.

Wegen (∗∗) ist g_{dp^{α}}(dp^{α−1}) = 0. Das heißt, in beiden Fällen verschwindet das zweite Produkt. Es folgt

1 = \begin{matrix}∏ & ′ \\ d|t \end{matrix}(1 − ϵ_{d}^{b})^{pg_{d}},

und mit Induktion folgt pg_{d} = 0 für 1 < d ≤ t, mithin g_{d} = 0.

Zusammenfassend gilt somit: Hat man einen beliebigen echten Teiler d von n, so gibt es ein t mit d|t und pt = n. Es folgt nach einem der beiden oben ausgeführten Fälle g_{d} = 0, und (∗) wird zu

(1 − ϵ_{n}^{a})^{g_{n}} = 1

für alle Teiler a ≠ 1 von n. Mit Franz folgt g_{n} = 0, was schließlich noch zu zeigen war.

qed.

2.2.2 Weitere Bemerkungen zum Lemma von Bass

Ähnlich wie das Lemma von Franz kann man auch das Lemma von Bass auf Einheiten im Gruppenring ZZC_{n} anwenden. Hat man zu jedem Teiler d von n eine Enheit w_{d} ∈ ZZC_{d} konstruiert, so daß für jeden Charakter χ von C_{n} für alle d|n entweder

χ(w_{d}) = 1

oder

χ(w_{d}) = (1 − ϵ_{d}^{a})^{h_{d}}

mit einem geeigneten h_{d} ∈ ZZG_{d} und einem nur von χ abhängigen Teiler a von n, so folgt für ein g_{d} ∈ ZZG_{d}^{+} aus der Relation

∏_{d|n} w_{d}^{g_{d}} = 1,

daß h_{d}g_{d} = 0 ist. Dies sollte nur als Anhaltspunkt dienen für weitere Überlegungen, die über den Rahmen dieser Arbeit hinausführen. Eine Anwendung des Lemmas von Bass zur Konstruktion unabhängiger Einheiten im Gruppenring ZZC_{n} findet sich bei Karpilovsky, S. 156ff. Die dort beschriebene Konstruktion geht auf H. Bass zurück.

3 KONSTRUKTION VON BASEN IN DER GRUPPE DER ZYKLOTOMISCHEN EINHEITEN45

3 Konstruktion von Basen in der Gruppe der zyklotomischen Einheiten

Sei n ∈ IN. Es wird nun die Gruppe der zyklotomischen Einheiten weiter untersucht. Diese war definiert durch (vgl. Abschnitt 1.1.3)

C^{(n)} =  < {±ϵ_{n}, 1 − ϵ_{n}^{a} | a ∈ ZZ} > ∩ UZZ[ϵ_{n}]

und wird nach Satz 2, Abschnitt 1.1.3 erzeugt durch

E^{(n)} =  {(1 − ϵ_{t})^{σ_{ν}} | t ∈ T_{n} \ P_{n}, σ_{ν} ∈ G_{t}}
∪ {(1 − ϵ_{q})^{(σ_{ν}−1)} | q ∈ P_{n}, σ_{ν} ∈ G_{q}}
∪ {±ϵ_{n}}.

Dabei war T_{n} die Menge aller P-Teiler und P_{n} die Menge aller primen P-Teiler von n. Allgemein gilt für eine endlich erzeugte abelsche Gruppe die Zerlegung

G ≅ G_{tor} × ZZ^{r},

wobei G_{tor} den Torsionsanteil und r den Rang bezeichnet (siehe z.B. Lang, S. 49, Th. 8). Mit dem Wort “Basis” ist im folgenden immer eine Basis des torsionsfreien Anteils der Gruppe der zyklotomischen Einheiten gemeint, also r Elemente, die zusammen mit der Torsionsgruppe die Gruppe erzeugen.

\underline{Definition}

Seien u, v ∈ C^{(n)}, dann sagt man “u ist gleich v modulo Torsion”, wenn es eine Einheitswurzel ϵ ∈ C^{(n)} gibt, für die

u = ϵv

gilt. Man schreibt in diesem Fall u =^{tor} v. \underline{Lemma 1} Es sei ϵ_{d} eine d-te Einheitswurzel, d ein Teiler von n, dann gilt

1 − ϵ_{d} =^{tor} 1 − ϵ_{d}^{−1}.

\underline{Beweis} Der Beweis folgt direkt aus

1 − ϵ_{d} = −ϵ_{d}(1 − ϵ_{d}^{−1}).

Wegen dieser “trivialen” Abhängigkeit zwischen zyklotomischen Einheiten ist es sinnvoll, nur mit einem “halben” Restsystem von G_{n} zu arbeiten, das heißt mit einem Vertretersystem von G_{n}/{±1}. Dazu wird folgende suggestive Bezeichnungsweise definiert.

\underline{Definition} Sei n > 2. Dann werden für σ_{ν} ∈ G_{n} folgende Bezeichnungen definiert:

σ_{ν} > 0 :⇔ σ_{ν} ∈ \{σ_{a} ∈ G_{n} | 0 < a < +\frac{n}{2}\},
σ_{ν} < 0 :⇔ σ_{ν} ∈ \{σ_{a} ∈ G_{n} | − \frac{n}{2} < a < 0\},
σ_{ν} > 1 :⇔ σ_{ν} > 0 und σ_{ν} ≠ σ_{1},
σ_{ν} < −1 :⇔ σ_{ν} < 0 und σ_{ν} ≠ σ_{−1},
σ_{ν} = 1 :⇔ σ_{ν} = σ_{1},
σ_{ν} = −1 :⇔ σ_{ν} = σ_{−1}.

Es handelt sich hier ausdrücklich nur um eine Schreibweise. Mit “<” bzw. “>” wird also keine Ordnungsrelation oder ähnliches definiert. In G_{n} gibt es in diesem Sinne keine “positiven” oder “negativen” Zahlen. Trotzdem gilt mit dieser Bezeichnungsweise

σ_{ν} > 0 ⇔ σ_{−ν} < 0.

3.1 Das Einheitensystem von Ramachandra

Es gelte im folgenden n > 2. Das Einheitensystem von Ramachandra erzeugt eine Untergruppe der zyklotomischen Einheiten von endlichem Index in UZZ[ϵ_{n}]. Es folgt also aus der Konstruktion dieses Einheitensystems, daß auch die Gruppe aller zyklotomischen Einheiten endlichen Index in UZZ[ϵ_{n}] hat. Nach dem Dirichletschen Einheitensatz ist der Rang der Einheitengruppe in ZZ[ϵ_{n}], das heißt die maximale Anzahl unabhängiger Einheiten, \frac{1}{2}ϕ(n) − 1 (siehe z.B. Weiss, S. 267, Proposition 7-6-1). Ramachandra stellt nun gerade \frac{1}{2}ϕ(n) − 1 Einheiten zur Verfügung, die unabhängig sind.

\underline{Definition} Sei T_{n} die Menge aller P-Teiler von n. Sei ϵ_{n} eine beliebige, aber feste primitive n-te Einheitswurzel. Schließlich sei ϵ_{d} := ϵ_{n}^{n/d}. Für σ_{ν} ∈ G_{n}, σ_{ν} > 1 heißt die zyklotomische Einheit

u_{ν} := ∏_{d∈T_{n}} \frac{1 − ϵ_{d}^{ν}}{1 − ϵ_{d}} = ∏_{d∈T_{n}}(1 − ϵ_{d})^{σ_{ν}−1}

Ramachandra-Einheit. Wir werden nun die Unabhängigkeit dieser Einheiten beweisen.

Satz 4 (Unabhängigkeit der Ramachandra-Einheiten) Es seien für σ_{ν} > 1 die u_{ν} wie oben definiert. Dann folgt aus

∏_{σ_{ν}>1} u_{ν}^{a_{ν}} = 1,

daß a_{ν} = 0 für alle σ_{ν} > 1 ist.

Bevor der Satz bewiesen wird, noch ein Korollar, das auch die Torsionselemente berücksichtigt. Man erhält dabei aber nichts wesentlich Neues. \underline{Korollar} Sei ϵ eine beliebige Einheitswurzel. Dann folgt aus

ϵ ∏_{σ_{ν}>1} u_{ν}^{a_{ν}} = 1,

daß a_{ν} = 0 für alle σ_{ν} > 1 (und damit auch ϵ = 1) ist.

Beweis des Korollars Erhebt man letztgenannte Bedingung zu einer geeigneten k-ten Potenz, so daß ϵ^{k} = 1 ist, gilt

∏_{σ_{ν}>1} u_{ν}^{ka_{ν}} = 1,

und mit Satz 4 folgt ka_{ν} = 0, also a_{ν} = 0 für alle σ_{ν}.

qed.

Der Beweis von Satz 4 weicht von der ursprünglichen Version (vgl. Ramachandra, S. 172) dadurch ab, daß hier mit Gruppenringen gearbeitet wird, um das Lemma von Franz anwenden zu können. Beweis des Satzes Der Beweis wird mit Hilfe des Lemmas von Franz geführt. Dazu formen wir zunächst die Voraussetzung des Satzes um. Es gilt

∏_{σ_{ν}>1} u_{ν}^{a_{ν}} = ∏_{σ_{ν}>1} ∏_{d∈T_{n}}(1 − ϵ_{d})^{(σ_{ν}−1)a_{ν}}

= ∏_{d∈T_{n}} ∏_{σ_{ν}>1}(1 − ϵ_{d})^{(σ_{ν}−1)a_{ν}}
= ∏_{d∈T_{n}}(1 − ϵ_{d})^{g_{+}} = 1.

Dabei ist g_{+} als Element des Gruppenrings ZZG_{n} definiert durch

g_{+} := ∑_{σ_{ν}>1} a_{ν}(σ_{ν} − 1).

Wir setzen

g := (1 + σ_{−1})g_{+},

und es ist dann auch

∏_{d∈T_{n}}(1 − ϵ_{d})^{g_{+}(1+σ_{−1})} = ∏_{d∈T_{n}}(1 − ϵ_{d})^{g} = 1.

Schreibt man g = ∑ b_{ν}σ_{ν} mit Koeffizienten b_{ν}, so gilt für diese

b_{ν} = \{ \begin{matrix}a_{ν} & falls & σ_{ν} > 1 \\ − ∑_{σ_{μ}>1} a_{μ} & falls & σ_{ν} = 1 \\ a_{−ν} & falls & σ_{ν} < 0. \end{matrix}

Insbesondere folgt aus b_{ν} = 0, daß auch die a_{ν} verschwinden. Da außerdem g Augmentation 0 hat und b_{ν} = b_{−ν} ist, genügt es, zum Beweis des Satzes folgende Proposition zu zeigen. Proposition (verallgemeinertes Lemma von Franz)

Sei g ∈ ΔZZG_{n}^{+}. Es sei ϵ_{d} := ϵ_{n}^{n/d} und ϵ_{n} eine primitive n-te Einheitswurzel. Dann folgt aus

∏_{d∈T_{n}}(1 − ϵ^{d})^{g} = 1,  (∗)

daß g = 0 ist. Beweis der Proposition Der Beweis wird mit Induktion nach der Anzahl der P-Teiler von n geführt. Ist n = q Primzahlpotenz, so ist T_{q} = {q}, und (∗) ist gerade die Bedingung, die als Voraussetzung zum Lemma von Franz benötigt wird. Es folgt g = 0. Für den Induktionsschluß schreiben wir n = qt, wobei q = p^{α} ein primer P-Teiler von n ist. Wir benutzen das Element N_{q}. Für dieses Element gilt (Abschnitt 1.2.5, Lemma 6), falls ϵ_{d} und ϵ_{q} primitive d-te beziehungsweise q-te Einheitswurzeln (d ≠ 1) sind,

(1 − ϵ_{d}ϵ_{q})^{N_{q}} = (1 − ϵ_{d})^{σ_{q}(1−σ_{p}^{−1})}
(1 − ϵ_{d})^{N_{q}} = (1 − ϵ_{d})^{ϕ(q)}
(1 − ϵ_{q})^{N_{q}} = p.

Wegen ϵ_{dq} = ϵ_{d}^{σ_{q}^{−1}}ϵ_{q}^{σ_{d}^{−1}} (Abschnitt 1.2.4, Lemma 4) folgt

1 = ∏_{d∈T_{n}}(1 − ϵ_{d})^{gN_{q}}
= (1 − ϵ_{q})^{N_{q}g} ∏_{d∈T_{t}}((1 − ϵ_{d})^{N_{q}g}(1 − ϵ_{dq})^{N_{q}g})

= p^{aug(g)} ∏_{d∈T_{t}}((1 − ϵ_{d})^{N_{q}g}(1 − ϵ_{d}^{σ_{q}^{−1}}ϵ_{q}^{σ_{d}^{−1}})^{N_{q}g})
= p^{aug(g)} ∏_{d∈T_{t}} ((1 − ϵ_{d})^{ϕ(q) g(t)}(1 − ϵ_{d})^{σ_{q}^{−1}σ_{q}(1−σ_{p}^{−1})g(t)})
= ∏_{d∈T_{t}}(1 − ϵ_{d})^{h_{q}g(t)}

mit h_{q} = ϕ(q)+1−σ_{p}^{−1}. Wir haben im letzten Schritt ausgenutzt, daß aug(g) = 0 vorausgesetzt wurde, so daß p^{aug(g)} = 1 ist. Aus der Induktionsannahme folgt h_{q}g(t) = 0. Da h_{q} kein Nullteiler in ZZG_{t} ist (es gilt für jeden Charakter χ von G_{t} die Abschätzung |χ(h_{q})| ≥ ϕ(q) + 1 − |χ(σ_{p}^{−1})| = ϕ(q) > 0), folgt also g(t) = 0. Hat man allgemein einen beliebigen P-Teiler d ≠ n von n, so ist n = qrd mit einem primen P-Teiler q und einem eventuellen weiteren P-Teiler r. Nach dem oben Gezeigten folgt g(rd) = 0. Es ist also

(1 − ϵ_{d})^{g} = (1 − ϵ_{d})^{g(rd)} = 1.

In Gleichung (∗) eingesetzt ergibt sich auch für n

(1 − ϵ_{n})^{g} = ∏_{d∈T_{n}}(1 − ϵ_{d})^{g} = 1.

Als Quintessenz folgt für jeden P-Teiler d von n, daß

(1 − ϵ_{d})^{g} = 1

ist, und mit dem Lemma von Franz folgt g = 0.

qed.

3.2 Explizite Konstruktion einer Basis

Ziel ist es, eine Basis für den torsionsfreien Teil aller zyklotomische Einheiten zu schaffen für den Fall, daß n von höchstens drei verschiedenen Primzahlen geteilt wird. Dies gelingt, indem Elemente aus dem Erzeugendensystem E^{(n)} sukzessive entfernt und die jeweils entfernten Elemente mit Hilfe der übrigen, verbliebenen dargestellt werden, bis gerade noch \frac{1}{2}ϕ(n)−1 Elemente übrig bleiben. Natürlich ist dies keine Methode, die in allgemeinen abelschen Gruppen zum Erfolg führen muß (beispielsweise wird (ZZ, +) von den Elementen 2 und 3 erzeugt, und hier erhält man offensichtlich keine Basis, indem man eines der beiden Elemente wegläßt). Wir werden aber sehen, daß dieser Ansatz für die Gruppe der zyklotomischem Einheiten fruchtet. Im folgenden wird immer n ≢ 2 mod 4 vorausgesetzt. Dies bedeutet beim Arbeiten in zyklotomischen Körpern keine Einschränkung, da wegen ϵ_{2u} = −ϵ_{u} für u ungerade Q[ϵ_{2u}] = Q[ϵ_{u}] ist.

3.2.1 Konstruktion einer Basis im Fall n = q

Satz 5 (Basis im Fall n = q) Sei n = q = p^{α} Primzahlpotenz. Dann ist

B_{q} := {(1 − ϵ_{q})^{σ_{ν}−1} | σ_{ν} > 1}

eine Basis von C^{(n)}.

\underline{Beweis} Es besteht B_{q} aus genau \frac{1}{2}ϕ(q) − 1 Elementen, und wegen 1 − ϵ_{q}^{ν} =^{tor} 1 − ϵ_{q}^{−ν} liegen auch die Elemente (1 − ϵ_{q})^{σ_{ν}−1} für σ_{ν} < −1 in < B_{q} >. Dies sind schon alle Einheiten aus E^{(q)}.

qed.

3.2.2 Konstruktion einer Basis im Fall n = qr

Seien q und r zwei Primzahlpotenzen. Nach dem Chinesischen Restsatz ist

G_{n} ≅ G_{q} × G_{r}.

Für ein Element σ_{ν} ∈ G_{n} schreiben wir dementsprechend σ_{ν} = (x, y) mit x ∈ G_{q} und y ∈ G_{r}. Sei ϵ_{n} eine feste n-te Einheitswurzel. Wir stellen ϵ_{n} = ϵ_{q}ϵ_{r} als Produkt einer primitiven q-ten und r-ten Einheitswurzel dar und schreiben

ϵ_{n}^{(x,y)} := ϵ_{n}^{ν} = ϵ_{q}^{x}ϵ_{r}^{y}.

Satz 6 (Basis im Fall n = qr) Sei n = qr das Produkt zweier Primzahlpotenzen, dann ist

B_{qr} :=  B_{q} ∪ B_{r}
∪ {1 − ϵ_{n}^{(x,y)} | x > 1, y > 1}

∪ {1 − ϵ_{n}^{(x,y)} | x > 0, y < 0}

eine Basis von C^{(n)}. \underline{Beweis} Wir bestimmen zunächst die Anzahl der Elemente in B_{qr}. Dazu machen wir folgende Aufstellung:

Menge :  Anzahl :
B_{q}  \frac{1}{2}ϕ(q) − 1
B_{r}  \frac{1}{2}ϕ(r) − 1
\{1 − ϵ_{n}^{(x,y)} | x > 1, y > 1\}  (\frac{1}{2}ϕ(q) − 1)(\frac{1}{2}ϕ(r) − 1)
\{1 − ϵ_{n}^{(x,y)} | x > 0, y < 0\}  \frac{1}{2}ϕ(q)\frac{1}{2}ϕ(r).

Das ergibt summa summarum #B_{qr} = \frac{1}{2}ϕ(q)−1+ \frac{1}{2}ϕ(r)−1+(\frac{1}{2}ϕ(q)−1)(\frac{1}{2}ϕ(r)− 1) + \frac{1}{2}ϕ(q)\frac{1}{2}ϕ(r) = \frac{1}{2}ϕ(q)ϕ(r) − 1 = \frac{1}{2}ϕ(n) − 1 Elemente. Die Anzahl stimmt also. Die Elemente aus E^{(n)}, von denen wir jetzt zeigen müssen, daß sie durch Elemente aus B_{qr} dargestellt werden können, sind die 1 − ϵ_{n}^{(x,y)} mit

a) x < 0, y > 0,

b) x = 1, y > 1,

c) x > 1, y = 1,

d) x = 1, y = 1,

e) x < 0, y < 0.

Dies ist an Hand folgender Tabelle klar:

x = 1 x > 1 x < −1 x = −1
y = 1  d  c  a  a
y > 1  b  B  a  a
y < −1 B  B  e  e
y = −1 B  B  e  e

Dabei sind mit B die Elemente bezeichnet, für die 1 − ϵ_{n}^{(x,y)} in der Basis liegt, die Buchstaben a-e beziehen sich auf die oben angeführten Fälle a-e.

Zu a: Sei x < 0 und y > 0. Es ist 1 − ϵ_{n}^{(x,y)} =^{tor} 1 − ϵ_{n}^{(−x,−y)}, da wegen des Chinesischen Restsatzes −(x, y) = (−x, −y) gilt. Die Elemente mit x < 0 und y > 0 werden also durch diejenigen mit x > 0 und y < 0 erzeugt.

Zu b: Sei y > 1 fest. Wir schreiben q = p^{α} mit einer Primzahl p. Es sei mit q̂ die Zahl q̂:= p^{α−1} bezeichnet. Für das Element N_{q} galt

(1 − ϵ_{q}ϵ_{r}^{y})^{N_{q}} = (1 − ϵ_{r}^{y})^{σ_{q}−σq̂}.

Da N_{q} = ∑_{ν≡1 mod r} σ_{ν} ist, schreiben wir dies als

∏_{x∈G_{q}}(1 − ϵ_{q}^{x}ϵ_{r}^{y}) = (1 − ϵ_{r}^{y})^{σ_{q}−σq̂}.

Man kann dies anschaulich so interpretieren, daß das Produkt über Elemente gebildet wird, die in obiger Tabelle längs einer horizontalen Linie liegen. (Analog entspricht die durch N_{r} induzierte Relation der Bildung des Produkts längs einer Vertikalen.) Klammern wir aus dem Produkt auf der linken Seite den Faktor zu x = 1 aus und schreiben den Rest auf die rechte Seite, so erhalten wir

1 − ϵ_{n}^{(1,y)} = (1 − ϵ_{r}^{y})^{σ_{q}−σq̂} \begin{matrix}∏ & −1 \\ x∈G_{q}\\{σ_{1}\} \end{matrix}(1 − ϵ_{q}^{x}ϵ_{r}^{y})

als Darstellung von 1−ϵ_{n}^{(1,y)} durch Elemente, von denen wir schon wissen, daß sie aus < B_{qr} > sind. (Wegen aug(σ_{q} − σq̂) = 0 liegt (1 − ϵ_{r}^{y})^{σ_{q}−σq̂} in < B_{r} > ⊆ < B_{qr} >.)

Zu c: Der Fall x > 1 und y = 1 ist absolut symmetrisch zum Fall b, indem man die Rollen von q und r vertauscht.

Zu d: Den Fall x = 1 und y = 1 können wir analog zu b abhandeln, wenn wir dort y = 1 setzen. Wir erhalten

1 − ϵ_{n} = (1 − ϵ_{r})^{σ_{q}−σq̂} \begin{matrix}∏ & −1 \\ x∈G_{q}\\{σ_{1}\} \end{matrix}(1 − ϵ_{q}^{x}ϵ_{r}).

Von den Elementen 1 − ϵ_{q}^{x}ϵ_{r} mit x > 1 wissen wir jetzt aus c, daß sie alle in < B_{qr} > liegen.

Zu e: Die Elemente 1 − ϵ_{n}^{(x,y)} mit x < 0 und y < 0 werden genauso wie in a auf Grund von 1 − ϵ_{n}^{(x,y)} =^{tor} 1 − ϵ_{n}^{(−x,−y)} erzeugt. Daß diejenigen mit x > 0 und y > 0 in < B_{qr} > liegen, folgt aus b,c und d.

3.2.3 Konstruktion einer Basis im Fall n = qrs

Seien nun q, r, s drei teilerfremde Primzahlpotenzen. Es gilt wie im Fall n = qr nach dem Chinesischen Restsatz

G_{n} ≅ G_{q} × G_{r} × G_{s}.

Wir schreiben demnach ein Element σ_{ν} ∈ G_{n} als Tripel (x, y, z) ∈ G_{q} × G_{r} × G_{s} und definieren

1 − ϵ_{n}^{(x,y,z)} := 1 − ϵ_{n}^{ν} = 1 − ϵ_{q}^{x}ϵ_{r}^{y}ϵ_{s}^{z}.

Das folgende Diagramm ist als “dreidimensionale Tabelle” zu interpretieren, in die alle Elemente (x, y, z) ∈ G_{n} eingetragen sind. Die Beschriftung der Quader gibt eine gewisse Übersicht über die Teilmengen von G_{n}, mit denen wir arbeiten werden. Man muß sich dabei die nicht sichtbaren Einträge hinzudenken.

[figure: y=−1; y<−1; y>1; y=1; x=−1; x<−1; x>1; x=1; z=1; z>1; z<−1; z=−1; \begin{matrix}x=−1 \\ y=1 \\ z=1 \end{matrix}; \begin{matrix}x<−1 \\ y=1 \\ z=1 \end{matrix}; \begin{matrix}x>1 \\ y=1 \\ z=1 \end{matrix}; \begin{matrix}x=1 \\ y=1 \\ z=1 \end{matrix}; \begin{matrix}x=−1 \\ y>1 \\ z=1 \end{matrix}; \begin{matrix}x<−1 \\ y>1 \\ z=1 \end{matrix}; \begin{matrix}x>1 \\ y>1 \\ z=1 \end{matrix}; \begin{matrix}x=1 \\ y>1 \\ z=1 \end{matrix}; \begin{matrix}x=−1 \\ y<−1 \\ z=1 \end{matrix}; \begin{matrix}x<−1 \\ y<−1 \\ z=1 \end{matrix}; \begin{matrix}x>1 \\ y<−1 \\ z=1 \end{matrix}; \begin{matrix}x=1 \\ y<−1 \\ z=1 \end{matrix}; \begin{matrix}x=−1 \\ y=−1 \\ z=1 \end{matrix}; \begin{matrix}x<−1 \\ y=−1 \\ z=1 \end{matrix}; \begin{matrix}x>1 \\ y=−1 \\ z=1 \end{matrix}; \begin{matrix}x=1 \\ y=−1 \\ z=1 \end{matrix}; \begin{matrix}x=−1 \\ y=1 \\ z>1 \end{matrix}; \begin{matrix}x<−1 \\ y=1 \\ z>1 \end{matrix}; \begin{matrix}x>1 \\ y=1 \\ z>1 \end{matrix}; \begin{matrix}x=1 \\ y=1 \\ z>1 \end{matrix}; \begin{matrix}x=−1 \\ y=1 \\ z<−1 \end{matrix}; \begin{matrix}x<−1 \\ y=1 \\ z<−1 \end{matrix}; \begin{matrix}x>1 \\ y=1 \\ z<−1 \end{matrix}; \begin{matrix}x=1 \\ y=1 \\ z<−1 \end{matrix}; \begin{matrix}x=1 \\ y>1 \\ z>1 \end{matrix}; \begin{matrix}x=1 \\ y<−1 \\ z>1 \end{matrix}; \begin{matrix}x=1 \\ y=−1 \\ z>1 \end{matrix}; \begin{matrix}x=1 \\ y>1 \\ z<−1 \end{matrix}; \begin{matrix}x=1 \\ y<−1 \\ z<−1 \end{matrix}; \begin{matrix}x=1 \\ y=−1 \\ z<−1 \end{matrix}; \begin{matrix}x=1 \\ y=1 \\ z=−1 \end{matrix}; \begin{matrix}x=−1 \\ y=1 \\ z=−1 \end{matrix}; \begin{matrix}x<−1 \\ y=1 \\ z=−1 \end{matrix}; \begin{matrix}x>1 \\ y=1 \\ z=−1 \end{matrix}; \begin{matrix}x=1 \\ y=−1 \\ z=−1 \end{matrix}; \begin{matrix}x=1 \\ y=−1 \\ z=−1 \end{matrix}; \begin{matrix}x=1 \\ y=−1 \\ z=−1 \end{matrix}]

Wir führen die Kurzschreibweise {x > 0, y > 0, z > 0} für die Menge {1 − ϵ_{n}^{(x,y,z)} | x > 0, y > 0, z > 0} usw. ein. Betrachtet man dann die vier disjunkten Mengen

M_{0} := {x > 0, y > 0, z > 0},
M_{x} := {x < 0, y > 0, z > 0},
M_{y} := {x > 0, y < 0, z > 0},
M_{z} := {x > 0, y > 0, z < 0},

so liegt modulo Torsion jedes Element 1 − ϵ_{n}^{(x,y,z)} in einer dieser Mengen (da −(x, y, z) = (−x, −y, −z) ist). Die Basis ergibt sich nun, indem aus jeder dieser vier Mengen gewisse Elemente, für die x = σ_{1}, y = σ_{1} oder z = σ_{1} ist, weggelassen werden.

Satz 7 (Basis im Fall n = qrs) Sei n = qrs das Produkt dreier Primzahlpotenzen q, r und s. Dann ist

B_{qrs} :=  B_{qr} ∪ B_{qs} ∪ B_{rs}
∪ {1 − ϵ_{n}^{(x,y,z)} | x > 1, y > 1, z > 1}
∪ {1 − ϵ_{n}^{(x,y,z)} | x < 0, y > 1, z > 0}
∪ {1 − ϵ_{n}^{(x,y,z)} | x > 0, y < 0, z > 1}
∪ {1 − ϵ_{n}^{(x,y,z)} | x > 1, y > 0, z < 0}

eine Basis von C^{(n)}. Zeichnet man in dem dreidimensionalen Diagramm nur diejenigen Quader ein, die durch diese Mengen charakterisiert werden, so ergibt sich folgendes Bild:

[figure: y=−1; y<−1; y>1; y=1; x=−1; x<−1; x>1; x=1; z=1; z>1; z<−1; z=−1]

\underline{Beweis} Wir werden, soweit es geht, in Analogie zum Fall n = qr argumentieren, allerdings jetzt prinzipiell modulo Torsion rechnen. Das heißt, wenn wir gezeigt haben, daß ein Element 1 − ϵ_{n}^{(x,y,z)} durch andere Elemente erzeugt werden kann, folgt direkt, daß auch das Element 1 − ϵ_{n}^{(−x,−y,−z)} erzeugt werden kann. Zunächst sind die Elemente in B_{qrs} zu zählen. Dabei ist zu beachten, daß B_{qr}, B_{qs} und B_{rs} paarweise nicht disjunkt sind. Es gilt vielmehr B_{qr} ∩ B_{qs} = B_{q}, B_{qr} ∩B_{rs} = B_{r} und B_{rs} ∩B_{qs} = B_{s}. Macht man die Mengen disjunkt, so lautet die Aufstellung:

Menge :  Anzahl :
B_{qr} \ B_{q}  \frac{1}{2}ϕ(q)ϕ(r) − 1 − (\frac{1}{2}ϕ(q) − 1)
B_{qs} \ B_{s}  \frac{1}{2}ϕ(q)ϕ(s) − 1 − (\frac{1}{2}ϕ(s) − 1)

B_{rs} \ B_{r}  \frac{1}{2}ϕ(r)ϕ(s) − 1 − (\frac{1}{2}ϕ(r) − 1)
\{x > 1, y > 1, z > 1\}  (\frac{1}{2}ϕ(q) − 1)(\frac{1}{2}ϕ(r) − 1)(\frac{1}{2}ϕ(s) − 1)
\{x < 0, y > 1, z > 0\}  \frac{1}{2}ϕ(q)(\frac{1}{2}ϕ(s) − 1)\frac{1}{2}ϕ(s)
\{x > 0, y < 0, z > 1\}  \frac{1}{2}ϕ(q)\frac{1}{2}ϕ(r)(\frac{1}{2}ϕ(s) − 1)
\{x > 1, y > 0, z < 0\}  (\frac{1}{2}ϕ(q) − 1)\frac{1}{2}ϕ(r)\frac{1}{2}ϕ(s).

Diese Terme rechnen wir aus:

\frac{1}{2}ϕ(q)ϕ(r) − 1 − (\frac{1}{2}ϕ(q) − 1) = \frac{1}{2}ϕ(q)ϕ(r) − \frac{1}{2}ϕ(q)
\frac{1}{2}ϕ(q)ϕ(s) − 1 − (\frac{1}{2}ϕ(s) − 1) = \frac{1}{2}ϕ(q)ϕ(s) − \frac{1}{2}ϕ(s)
\frac{1}{2}ϕ(r)ϕ(s) − 1 − (\frac{1}{2}ϕ(r) − 1) = \frac{1}{2}ϕ(r)ϕ(s) − \frac{1}{2}ϕ(s)
(\frac{1}{2}ϕ(q) − 1)(\frac{1}{2}ϕ(r) − 1)(\frac{1}{2}ϕ(s) − 1) = \frac{1}{8}ϕ(q)ϕ(r)ϕ(s) − \frac{1}{4}ϕ(q)ϕ(r)
−\frac{1}{4}ϕ(q)ϕ(s) − \frac{1}{4}ϕ(r)ϕ(s)
+\frac{1}{2}ϕ(q) + \frac{1}{2}ϕ(r) + \frac{1}{2}ϕ(s) − 1
\frac{1}{2}ϕ(q)(\frac{1}{2}ϕ(r) − 1)\frac{1}{2}ϕ(s) = \frac{1}{8}ϕ(q)ϕ(r)ϕ(s) − \frac{1}{4}ϕ(q)ϕ(s)
\frac{1}{2}ϕ(q)\frac{1}{2}ϕ(r)(\frac{1}{2}ϕ(s) − 1) = \frac{1}{8}ϕ(q)ϕ(r)ϕ(s) − \frac{1}{4}ϕ(q)ϕ(r)
(\frac{1}{2}ϕ(q) − 1)\frac{1}{2}ϕ(r)\frac{1}{2}ϕ(s) = \frac{1}{8}ϕ(q)ϕ(r)ϕ(s) − \frac{1}{4}ϕ(r)ϕ(s),

und die Summe beträgt tatsächlich \frac{1}{2}ϕ(q)ϕ(r)ϕ(s) − 1 = \frac{1}{2}ϕ(n) − 1. Es sei wieder q = p^{α} und q̂ = p^{α−1}. Analog seien die Zahlen ŝ zu s und r̂ zu r definiert. Wir werden, soweit es geht, mit der von N_{q} induzierten Formel argumentieren, die in diesem Fall

(1 − ϵ_{r}^{y}ϵ_{s}^{z})^{(σ_{q}−σq̂)} = ∏_{x∈G_{q}}(1 − ϵ_{q}^{x}ϵ_{r}^{y}ϵ_{s}^{z})

lautet. Das Produkt auf der rechten Seite wird, wenn man es an Hand des Diagramms interpretiert, über alle Elemente längs einer waagerechten Geraden gebildet. Analoge Formeln gelten natürlich, indem man die Rollen von s und q bzw. r und q vertauscht. Wir wollen uns zuerst eine Übersicht verschaffen, welche Elemente wir erzeugen müssen. Sie entsprechen gerade jenen Quadern, die im zweiten Diagramm fehlen. Wir bezeichnen die Mengen sukzessive mit A_{1}, A_{2}, usw. In dieser Reihenfolge werden wir denn auch vorgehen. Außerdem wird der Übersichtlichkeit wegen angegeben, aus welcher der Mengen M_{0}, M_{x}, M_{y}, M_{z} die A_{i} sind:

\begin{aligned}A_{1} & := & \{x = 1, y > 1, z > 1\} & ⊂ & M_{0}, \\ A_{2} & := & \{x > 1, y = 1, z > 1\} & ⊂ & M_{0}, \\ A_{3} & := & \{x > 1, y > 1, z = 1\} & ⊂ & M_{0}, \\ A_{4} & := & \{x < −1, y = 1, z > 0\} & ⊂ & M_{x}, \\ A_{5} & := & \{x > 0, y < −1, z = 1\} & ⊂ & M_{y}, \\ A_{6} & := & \{x = 1, y > 0, z < −1\} & ⊂ & M_{z}, \\ A_{7} & := & \{x > 1, y = 1, z = 1\} & ⊂ & M_{0}, \\ A_{8} & := & \{x = 1, y > 1, z = 1\} & ⊂ & M_{0}, \\ A_{9} & := & \{x = 1, y = 1, z > 1\} & ⊂ & M_{0}, \\ A_{10} & := & \{x = −1, y = 1, z > 1\} & ⊂ & M_{x}, \\ A_{11} & := & \{x > 1, y = −1, z = 1\} & ⊂ & M_{y}, \\ A_{12} & := & \{x = 1, y > 1, z = −1\} & ⊂ & M_{z} \end{aligned}

und schließlich

A_{13} :=  {x = 1, y = 1, z = 1)} ∪ {x = −1, y = 1, z = 1)}
∪ {x = 1, y = −1, z = 1)} ∪ {x = 1, y = 1, z = −1)}.

Wir werden später sehen, daß die einzige Menge, die wirklich Schwierigkeiten macht, die Menge A_{13} ist. Wir wollen noch den Mengen, die Basiselemente enthalten und nicht in einer der Mengen B_{qr}, B_{qs} oder B_{rs} liegen, einen Namen geben, und zwar definieren wir

\begin{aligned}B_{0} & := & \{x > 1, y > 1, z > 1\} & ⊂ & M_{0}, \\ B_{x} & := & \{x < 0, y > 1, z > 0\} & ⊂ & M_{x}, \\ B_{y} & := & \{x > 0, y < 0, z > 1\} & ⊂ & M_{y}, \\ B_{z} & := & \{x > 1, y > 0, z < 0\} & ⊂ & M_{z}. \end{aligned}

Schließlich werden wir zu einer gegebenen Menge M mit M^{−} die Menge bezeichnen, die gerade die Elemente mit entgegengesetzten Vorzeichen in x, y und z enthält, wie sie in M zu finden sind. Zum Beispiel ist B_{0}^{−} die Menge {x < −1, y < −1, z < −1} usw. Es gilt dann gerade, daß M und M^{−} modulo Torsion die gleichen Elemente enthalten. Alle Relationen, die unten auftauchen, sind eine Folgerung der Relationen, die von den Elementen N_{q}, N_{r} oder N_{s} induziert werden. Die Elemente in den A_{i} werden wie folgt erzeugt:

A_{1}: Seien y > 1 und z > 1 beliebig, aber fest. Es gilt

\begin{aligned}1 − ϵ_{n}^{(1,y,z)} & = & (1 − ϵ_{r}^{y}ϵ_{s}^{z})^{σ_{q}−σq̂} & \begin{matrix}∏ & −1 \\ x>1 \end{matrix}(1 − ϵ_{n}^{(x,y,z)}) & \begin{matrix}∏ & −1 \\ x<0 \end{matrix}(1 − ϵ_{n}^{(x,y,z)}). \\ & & ∈ < B_{rs} > & ∈ B_{0} & ∈ B_{x} \end{aligned}

A_{2}, A_{3}: Die Elemente aus A_{2} und A_{3} erhält man analog zu den Elementen aus A_{1}, indem man die Rollen von q, r und s vertauscht. Man beachte, daß die gesamte Konstruktion symmetrisch in q, r und s ist.

A_{4}: Seien x < −1 und z > 0 beliebig, aber fest. Es gilt

\begin{aligned}1 − ϵ_{n}^{(x,1,z)} & = & (1 − ϵ_{q}^{x}ϵ_{s}^{z})^{σ_{r}−σr̂} & \begin{matrix}∏ & −1 \\ y>1 \end{matrix}(1 − ϵ_{n}^{(x,y,z)}) & \begin{matrix}∏ & −1 \\ y<0 \end{matrix}(1 − ϵ_{n}^{(x,y,z)}). \\ & & ∈ < B_{qs} > & ∈ B_{x} & ∈ B_{z}^{−} \end{aligned}

A_{5}, A_{6}: Dieses geht wieder symmetrisch zur Menge A_{4}.

A_{7}: Sei jetzt x > 1 beliebig, aber fest. Man erhält

\begin{aligned}1 − ϵ_{n}^{(x,1,1)} & = & (1 − ϵ_{q}^{x}ϵ_{r})^{σ_{s}−σŝ} & \begin{matrix}∏ & −1 \\ z>1 \end{matrix}(1 − ϵ_{n}^{(x,1,z)}) & \begin{matrix}∏ & −1 \\ z<0 \end{matrix}(1 − ϵ_{n}^{(x,1,z)}). \\ & & ∈ < B_{qr} > & ∈ A_{2} & ∈ B_{z} \end{aligned}

A_{8}, A_{9}: Symmetrisch zu A_{7}.

A_{10}: Sei jetzt z > 1 beliebig, aber fest. Man erhält

\begin{aligned}1 − ϵ_{n}^{(−1,1,z)} = & (1 − ϵ_{q}^{−1}ϵ_{s}^{z})^{σ_{r}−σr̂} & \begin{matrix}∏ & −1 \\ y>1 \end{matrix}(1 − ϵ_{n}^{(−1,y,z)}) & \begin{matrix}∏ & −1 \\ y<0 \end{matrix}(1 − ϵ_{n}^{(−1,y,z)}). \\ & ∈ < B_{qs} > & ∈ B_{x} & ∈ A_{6}^{−} \end{aligned}

A_{11}, A_{12}: Symmetrisch zu A_{10}.

A_{13}: Die Menge A_{13} ∪ A_{13}^{−} wird gerade durch die Würfel an den Ecken des Diagramms dargestellt. Mit dieser Anschauung ist es intuitiv einsichtig, daß wir zunächst keine von den Elementen N_{q}, N_{r} oder N_{s} induzierte Relation zur Darstellung von Elementen aus A_{13} benutzen können. Die Anwendung einer dieser Relationen bedeutet nämlich, daß man alle Elemente entlang einer Parallelen zu einer der Kanten aufmultipliziert. Wenn wir das hier tun, stoßen wir immer auf zwei Elemente aus A_{13}. Wir können aber mit einem Trick eine Darstellung für (1 − ϵ_{n})^{2} herleiten, die ohne die anderen Elemente aus A_{13} auskommt. Wir werden diese dann so umformen, daß (1 − ϵ_{n})^{2} als Produkt von Quadraten von Elementen, die nicht aus A_{13} sind, dargestellt wird, und es ergibt sich so eine Relation für 1 − ϵ_{n}. Die restlichen Elemente aus A_{13} erzeugen wir danach auf die übliche Weise mit Hilfe von 1 − ϵ_{n} und einer von N_{q}, N_{r} oder N_{s} induzierten Relation. Wir wollen diese Konstruktion als Lemma formulieren.

Lemma (Darstellung von 1 − ϵ_{n}) Seien die Bezeichnungen wie oben. Dann gibt es eine Darstellung von

1 − ϵ_{n}

als Produkt zyklotomischer Einheiten aus E^{(n)}, die aber nicht modulo Torsion in A_{13} liegen, die also nicht von der Form

1 − ϵ_{q}^{±1}ϵ_{r}^{±1}ϵ_{s}^{±1}

(alle acht Kombinationen der Vorzeichen möglich) sind.

Beweis des Lemmas Wir werden zunächst, wie es in der Vorbemerkung angedeutet wurde, eine Darstellung von (1−ϵ_{n})^{2} herleiten, die nur aus Quadraten besteht. Zur besseren Übersicht wird der Beweis in vier Schritten durchgeführt. Im ersten Schritt werden wir in ZZ[ϵ_{n}] = ZZ[ϵ_{qrs}] arbeiten, im nächsten Schritt im Ring ZZ[ϵ_{qr}] und im dritten Schritt in ZZ[ϵ_{q}]. Dabei werden wir symmetrisch in q, r und s rechnen, so daß wir die Rechnungen in ZZ[ϵ_{qr}] auch analog in ZZ[ϵ_{rs}] und ZZ[ϵ_{qs}] führen können und die Rechnungen in ZZ[ϵ_{q}] analog in ZZ[ϵ_{r}] und ZZ[ϵ_{s}]. Diese Überlegungen werden alle modulo Torsion geführt. Der Torsionsanteil wird schließlich im vierten Schritt diskutiert.

1.Schritt Wir betrachten wieder die vier Mengen

M_{0} := {x > 0, y > 0, z > 0},
M_{x} := {x < 0, y > 0, z > 0},
M_{y} := {x > 0, y < 0, z > 0},
M_{z} := {x > 0, y > 0, z < 0}.

Wenn wir das Produkt über alle Konjugierten von 1−ϵ_{n} bilden, so ist dieses, da 1 − ϵ_{n} Einheit in ZZ[ϵ_{n}] ist, gleich ±1. Nun enthält M^{+} := M_{0} ∪ M_{x} ∪ M_{y} ∪ M_{z} modulo Torsion alle Elemente der Form 1−ϵ_{n}^{(x,y,z)}, und es sind jeweils 1−ϵ_{n}^{(x,y,z)} und 1 − ϵ_{n}^{(−x,−y,−z)} modulo Torsion gleich. Es gilt also

\begin{matrix}∏ & 2 \\ u∈M^{+} \end{matrix} u =^{tor} ∏_{(x,y,z)∈G_{n}} 1 − ϵ_{n}^{(x,y,z)} =^{tor} 1

und durch Wurzelziehen

∏_{u∈M^{+}} u =^{tor} 1.  (∗)

Es genügt, eine Darstellung von

\begin{matrix}∏ & 2 \\ u∈M_{0} \end{matrix} u

durch Quadrate zu finden, da alle Elemente aus M_{0} außer 1 − ϵ_{n} nicht in A_{13} liegen. Die Elemente N_{q}, N_{r} und N_{s} liefern die drei Gleichungen

∏_{u∈M_{0}} u ∏_{u∈M_{x}} u = ∏_{\begin{matrix}y>0 \\ z>0 \end{matrix}}(1 − ϵ_{r}^{y}ϵ_{s}^{z})^{σ_{q}−σq̂},
∏_{u∈M_{0}} u ∏_{u∈M_{y}} u = ∏_{\begin{matrix}x>0 \\ z>0 \end{matrix}}(1 − ϵ_{q}^{x}ϵ_{s}^{z})^{σ_{r}−σr̂},
∏_{u∈M_{0}} u ∏_{u∈M_{z}} u = ∏_{\begin{matrix}x>0 \\ y>0 \end{matrix}}(1 − ϵ_{q}^{x}ϵ_{r}^{y})^{σ_{s}−σŝ}.

Diese multiplizieren wir auf und erhalten unter Verwendung von (∗) die in allen drei Zahlen q, r und s symmetrische Darstellung

\begin{matrix}∏ & 2 \\ u∈M_{0} \end{matrix} u =^{tor}  \begin{matrix}∏ & 2 \\ u∈M_{0} \end{matrix} u ∏_{u∈M_{0}} u ∏_{u∈M_{x}} u ∏_{u∈M_{y}} u ∏_{u∈M_{z}} u
= ∏_{\begin{matrix}x>0 \\ y>0 \end{matrix}}(1 − ϵ_{q}^{x}ϵ_{r}^{y})^{σ_{s}−σŝ} ∏_{\begin{matrix}y>0 \\ z>0 \end{matrix}}(1 − ϵ_{r}^{y}ϵ_{s}^{z})^{σ_{q}−σq̂} ∏_{\begin{matrix}x>0 \\ z>0 \end{matrix}}(1 − ϵ_{q}^{x}ϵ_{s}^{z})^{σ_{r}−σr̂}.

2.Schritt Wir definieren zunächst

u_{x,y} := 1 − ϵ_{q}^{x}ϵ_{r}^{y}.

Es ist also

∏_{\begin{matrix}x>0 \\ y>0 \end{matrix}}(1 − ϵ_{q}^{x}ϵ_{r}^{y})^{σ_{s}−σŝ} = ∏_{\begin{matrix}x>0 \\ y>0 \end{matrix}} ; ((1 − ϵ_{q}^{sx}ϵ_{r}^{sy})(1 − ϵ_{q}^{ŝx}ϵ_{r}^{ŝy})^{−1})
= ∏_{\begin{matrix}x>0 \\ y>0 \end{matrix}}u_{sx,sy} ^{∏−1} ; \begin{matrix}x>0 \\ y>0 \end{matrix} u_{ŝx,ŝy}.

Es bezeichne nun s̃ die Primzahl, für die s̃^{α} = s für ein α ∈ IN gilt (es ist also s̃ŝ = s) und σ := σs̃. Wir definieren Q_{s} und R_{s} durch

Q_{s} := \begin{matrix}∏ & −1 \\ x>0,σx>0 \end{matrix} (1 − ϵ_{q}^{sx})^{σ_{r}−σr̂}

und

R_{s} := \begin{matrix}∏ & −1 \\ y>0,σy>0 \end{matrix} (1 − ϵ_{r}^{sy})^{σ_{q}−σq̂}.

Dabei bedeutet die Schreibweise x > 0, σx > 0, daß das Produkt über alle x ∈ G_{q}, die die beiden Bedingungen x > 0 und σx > 0 erfüllen, gebildet wird. Entsprechendes gilt für y.

Mit Hilfe dieser Elemente Q_{s} und R_{s} werden die durch N_{q} beziehungsweise N_{r} induzierten Relationen angewendet. Und zwar gilt

Q_{s} ∏_{\begin{matrix}x>0,σx>0 \\ y>0 \end{matrix}} u_{sx,sy} = ^{∏−1} ; \begin{matrix}x>0,σx>0 \\ y<0 \end{matrix} u_{sx,sy} = (⋯)^{2} ∏_{\begin{matrix}x>0,σx>0 \\ y<0 \end{matrix}} u_{sx,sy}

und

R_{s} ∏_{\begin{matrix}σx<0 \\ y>0,σy>0 \end{matrix}} u_{sx,sy} = ^{∏−1} ; \begin{matrix}σx>0 \\ y>0,σy>0 \end{matrix} u_{sx,sy} = (⋯)^{2} ∏_{\begin{matrix}σx>0 \\ y>0,σy>0 \end{matrix}} u_{sx,sy}.

Die Schreibweise (⋯)^{2} soll andeuten, daß an dieser Stelle irgendwelche quadratische Terme stehen. Da die folgende Rechnung nur modulo Torsion interessiert, ist es erlaubt, in einem Produkt bei allen “x” und “y” gleichzeitig das Vorzeichen zu wechseln. Um zu verdeutlichen, wo dies benutzt wurde, steht an diesen Stellen “=^{tor}”. Dort, wo nur “=” steht, handelt es sich um echte Gleichheit. So ergibt sich

R_{s}Q_{s} ∏_{\begin{matrix}x>0 \\ y>0 \end{matrix}}u_{sx,sy} = R_{s}Q_{s}  ∏_{\begin{matrix}x>0,σx>0 \\ y>0 \end{matrix}} u_{sx,sy}  ∏_{\begin{matrix}x>0,σx<0 \\ y>0 \end{matrix}} u_{sx,sy}
= (⋯)^{2} R_{s} ∏_{\begin{matrix}x>0,σx>0 \\ y<0 \end{matrix}} u_{sx,sy}  ∏_{\begin{matrix}x>0,σx<0 \\ y>0 \end{matrix}} u_{sx,sy}
=^{tor} (⋯)^{2} R_{s} ∏_{\begin{matrix}x<0,σx<0 \\ y>0 \end{matrix}} u_{sx,sy}  ∏_{\begin{matrix}x>0,σx<0 \\ y>0 \end{matrix}} u_{sx,sy}
= (⋯)^{2} R_{s}  ∏_{\begin{matrix}σx<0 \\ y>0 \end{matrix}} u_{sx,sy}
= (⋯)^{2} R_{s} ∏_{\begin{matrix}σx<0 \\ y>0,σy>0 \end{matrix}} u_{sx,sy}  ∏_{\begin{matrix}σx<0 \\ y>0,σy<0 \end{matrix}} u_{sx,sy}
= (⋯)^{2}  ∏_{\begin{matrix}σx>0 \\ y>0,σy>0 \end{matrix}} u_{sx,sy}  ∏_{\begin{matrix}σx<0 \\ y>0,σy<0 \end{matrix}} u_{sx,sy}
=^{tor} (⋯)^{2}  ∏_{\begin{matrix}σx>0 \\ y>0,σy>0 \end{matrix}} u_{sx,sy}  ∏_{\begin{matrix}σx>0 \\ y<0,σy>0 \end{matrix}} u_{sx,sy}
= (⋯)^{2}  ∏_{\begin{matrix}σx>0 \\ σy>0 \end{matrix}} u_{sx,sy}.

Mit der Variablentransformation σx → x folgt, da σ = σs̃ und s̃ŝ = s ist,

R_{s}Q_{s} ∏_{\begin{matrix}x>0 \\ y>0 \end{matrix}}u_{sx,sy} =^{tor} (⋯)^{2} ∏_{\begin{matrix}σx>0 \\ σy>0 \end{matrix}} u_{sx,sy} = (⋯)^{2} ∏_{\begin{matrix}x>0 \\ y>0 \end{matrix}}u_{ŝx,ŝy},

somit

∏_{\begin{matrix}x>0 \\ y>0 \end{matrix}}u_{sx,sy} ^{∏−1} ; \begin{matrix}x>0 \\ y>0 \end{matrix} u_{ŝx,ŝy} =^{tor} (⋯)^{2} Q_{s}^{−1}R_{s}^{−1}.

Führen wir den 2. Schritt analog für (q, s) und (r, s) statt (q, r) durch (mit analogen Bezeichnungen), so erhält man als Zwischenergebnis aus den Schritten 1 und 2

(1 − ϵ_{n})^{2} =^{tor} (⋯)^{2} Q_{s}^{−1}R_{s}^{−1}Q_{r}^{−1}S_{r}^{−1}R_{q}^{−1}S_{q}^{−1}.

Im dritten Schritt werden wir uns also um die Terme Q_{s}, R_{s} usw. kümmern.

3. Schritt Da die Argumentation symmetrisch in q, r und s ist, beschränken wir uns darauf, in ZZ[ϵ_{q}] zu arbeiten. Es seien s̃, ŝ und r̃, r̂ wie im 2. Schritt definiert, also s = s̃^{α} mit s̃ Primzahl, ŝ = s̃^{α−1} und analog für r̃ und r̂. Weiter sei σ := σs̃ und ρ := σr̃ Mit der Bezeichnung

v_{x} := 1 − ϵ_{q}^{ŝr̂x}

ist

Q_{r}^{−1} = ∏_{x>0,ρx>0} (1 − ϵ_{q}^{rx})^{σ_{s}−σŝ}
= ∏_{x>0,ρx>0} ((1 − ϵ_{q}^{rsx})(1 − ϵ_{q}^{rŝx})^{−1}) = ∏_{x>0,ρx>0} v_{σρx}  \begin{matrix}∏ & −1 \\ x>0,ρx>0 \end{matrix} v_{ρx}

und

Q_{s}^{−1} = ∏_{x>0,σx>0} (1 − ϵ_{q}^{sx})^{σ_{r}−σr̂}
= ∏_{x>0,σx>0} ((1 − ϵ_{q}^{srx})(1 − ϵ_{q}^{sr̂x})^{−1}) = ∏_{x>0,σx>0} v_{ρσx}  \begin{matrix}∏ & −1 \\ x>0,σx>0 \end{matrix} v_{σx}.

Es ist zu zeigen, daß Q_{r}^{−1}Q_{s}^{−1} Quadrat ist. Dazu betrachten wir die vier Mengen

D_{1} := ρ {x ∈ G_{q} | x > 0 und ρx > 0},
D_{2} := σρ {x ∈ G_{q} | x > 0 und ρx > 0},
D_{3} := σ {x ∈ G_{q} | x > 0 und σx > 0},
D_{4} := ρσ {x ∈ G_{q} | x > 0 und σx > 0},

und es ist

Q_{r}^{−1}Q_{s}^{−1} = ∏_{σ_{a}∈D_{1}} v_{a} \begin{matrix}∏ & −1 \\ σ_{a}∈D_{2} \end{matrix} v_{a} ∏_{σ_{a}∈D_{3}} v_{a} \begin{matrix}∏ & −1 \\ σ_{a}∈D_{4} \end{matrix} v_{a}.

Da v_{a} =^{tor} v_{−a} ist, ist zu zeigen, daß, falls σ_{a} ∈ G_{q} gegeben ist, σ_{a} oder σ_{−a} in genau zwei, gar keiner oder in allen vier Mengen D_{1}, D_{2}, D_{3} und D_{4} vorkommt. Wir schreiben σ_{b} := ρ^{−1}σ^{−1}σ_{a}. Es gilt:

σ_{a} ∈ D_{1} ⇔ σσ_{b} > 0 und σ_{a} > 0,
σ_{a} ∈ D_{2} ⇔ σ_{b} > 0 und ρσ_{b} > 0,
σ_{a} ∈ D_{3} ⇔ ρσ_{b} > 0 und σ_{a} > 0,
σ_{a} ∈ D_{4} ⇔ σ_{b} > 0 und σσ_{b} > 0.

Wir verwenden zur Übersicht eine Tabelle. Der Eintrag σ_{a} in der Spalte D_{i} bedeutet dabei, daß σ_{a} mit den in der ersten Spalte angegebenen Eigenschaften in der Menge D_{i} vorkommt. Da v_{a} mit v_{−a} identifiziert wird, sind jeweils die beiden Zeilen mit σ_{a} und σ_{−a} zusammengefaßt.

D_{1} D_{2} D_{3} D_{4}
σ_{b} > 0 ρσ_{b} > 0 σσ_{b} > 0 σ_{a} > 0 σ_{a} σ_{a} σ_{a} σ_{a}
σ_{b} < 0 ρσ_{b} < 0 σσ_{b} < 0 σ_{a} < 0
σ_{b} < 0 ρσ_{b} > 0 σσ_{b} > 0 σ_{a} > 0 σ_{a}  σ_{a}
σ_{b} > 0 ρσ_{b} < 0 σσ_{b} < 0 σ_{a} < 0
σ_{b} > 0 ρσ_{b} < 0 σσ_{b} > 0 σ_{a} > 0 σ_{a}  σ_{a}
σ_{b} < 0 ρσ_{b} > 0 σσ_{b} < 0 σ_{a} < 0
σ_{b} < 0 ρσ_{b} < 0 σσ_{b} > 0 σ_{a} > 0 σ_{a}
σ_{b} > 0 ρσ_{b} > 0 σσ_{b} < 0 σ_{a} < 0  σ_{a}
σ_{b} > 0 ρσ_{b} > 0 σσ_{b} < 0 σ_{a} > 0  σ_{a} σ_{a}
σ_{b} < 0 ρσ_{b} < 0 σσ_{b} > 0 σ_{a} < 0
σ_{b} < 0 ρσ_{b} > 0 σσ_{b} < 0 σ_{a} > 0  σ_{a}
σ_{b} > 0 ρσ_{b} < 0 σσ_{b} > 0 σ_{a} < 0  σ_{a}
σ_{b} > 0 ρσ_{b} < 0 σσ_{b} < 0 σ_{a} > 0
σ_{b} < 0 ρσ_{b} > 0 σσ_{b} > 0 σ_{a} < 0
σ_{b} < 0 ρσ_{b} < 0 σσ_{b} < 0 σ_{a} > 0
σ_{b} > 0 ρσ_{b} > 0 σσ_{b} > 0 σ_{a} < 0  σ_{a}  σ_{a}

Da in jeder der Zeilen die σ_{a} paarweise vorkommen, folgt die Behauptung.

4.Schritt Wir haben nun die Existenz einer Darstellung von (1 − ϵ_{n})^{2} modulo Torsion durch Quadrate hergeleitet. Das heißt, es gilt für irgendeine Einheitswurzel ϵ die Relation

(1 − ϵ_{n})^{2} = ϵ (⋯)^{2} .

Dabei steht (⋯)^{2} für irgendwelche Elemente aus C^{(n)}. Es ist zu zeigen, daß ϵ ein Quadrat eines Elementes aus C^{(n)} ist. Dies ist aber trivialerweise der Fall wegen

ϵ = ((1 − ϵ_{n})(⋯))^{2} ∈ (C^{(n)})^{2} .

Mit Hilfe der Schritte 1-4 erhalten wir also

(1 − ϵ_{n})^{2} =^{tor} ∏ u_{i}^{2}

mit zyklotomischen Einheiten u_{i}, die nicht in A_{13} liegen. Die gesuchte Darstellung von 1 − ϵ_{n} ist somit

1 − ϵ_{n} =^{tor} ∏ u_{i}.

3.3 Beispiele

Die Rechnungen im vorherigen Abschnitt sind so explizit, daß es möglich ist, ein Computerprogramm zu erstellen, das eine solche Basis berechnet. Ein solches in SIMATH geschriebenes Programm befindet sich kommentiert im Anhang. Die folgenden Beispiele wurden mit diesem Programm berechnet. Es wird immer nur Gleichheit modulo Torsion geliefert. Um den Torsionsanteil zu bestimmen, muß man die Terme auf eine Seite bringen und in Q[ϵ_{n}] ausrechnen.

3.3.1 n = 27 = 3^{3}

Die ist ein Beispiel für den Fall, daß n Primzahlpotenz ist. Sei ϵ_{27} eine beliebige, aber feste primitive 27-te Einheitswurzel und ϵ_{9} := ϵ_{27}^{3}. Eine Basis besteht aus den Elementen

(1 − ϵ_{27}^{13}) (1 − ϵ_{27})^{−1}, (1 − ϵ_{27}^{11}) (1 − ϵ_{27})^{−1}, (1 − ϵ_{27}^{10}) (1 − ϵ_{27})^{−1},
(1 − ϵ_{27}^{8}) (1 − ϵ_{27})^{−1}, (1 − ϵ_{27}^{7}) (1 − ϵ_{27})^{−1}, (1 − ϵ_{27}^{5}) (1 − ϵ_{27})^{−1},
(1 − ϵ_{27}^{4}) (1 − ϵ_{27})^{−1}, (1 − ϵ_{27}^{2}) (1 − ϵ_{27})^{−1}.

Die Darstellung der anderen Elemente durch Basiselemente sieht wie folgt aus (dabei ist die Reihenfolge der Faktoren auf der rechten Seite diejenige, die das Programm liefert):

(1 − ϵ_{9}^{2}) (1 − ϵ_{9})^{−1} =^{tor} (1 − ϵ_{27}^{7}) (1 − ϵ_{27}^{11}) (1 − ϵ_{27}^{2})
(1 − ϵ_{27}^{8})^{−1}(1 − ϵ_{27}^{10})^{−1}(1 − ϵ_{27})^{−1}
(1 − ϵ_{9}^{4}) (1 − ϵ_{9})^{−1} =^{tor} (1 − ϵ_{27}^{5}) (1 − ϵ_{27}^{13}) (1 − ϵ_{27}^{4})
(1 − ϵ_{27}^{8})^{−1}(1 − ϵ_{27}^{10})^{−1}(1 − ϵ_{27})^{−1}
(1 − ϵ_{9}^{−4}) (1 − ϵ_{9})^{−1} =^{tor} (1 − ϵ_{27}^{13}) (1 − ϵ_{27}^{5}) (1 − ϵ_{27}^{4})
(1 − ϵ_{27}^{8})^{−1}(1 − ϵ_{27}^{10})^{−1}(1 − ϵ_{27})^{−1}
(1 − ϵ_{9}^{−2}) (1 − ϵ_{9})^{−1} =^{tor} (1 − ϵ_{27}^{11}) (1 − ϵ_{27}^{7}) (1 − ϵ_{27}^{2})
(1 − ϵ_{27}^{8})^{−1}(1 − ϵ_{27}^{10})^{−1}(1 − ϵ_{27})^{−1}
(1 − ϵ_{27}^{−13}) (1 − ϵ_{27})^{−1} =^{tor} (1 − ϵ_{27}^{13}) (1 − ϵ_{27})^{−1}
(1 − ϵ_{27}^{−11}) (1 − ϵ_{27})^{−1} =^{tor} (1 − ϵ_{27}^{11}) (1 − ϵ_{27})^{−1}
⋮
(1 − ϵ_{27}^{−2}) (1 − ϵ_{27})^{−1} =^{tor} (1 − ϵ_{27}^{2}) (1 − ϵ_{27})^{−1}

3.3.2 n = 32 = 2^{5}

Dieser Fall erscheint hier, um zu zeigen, daß auch Potenzen von 2 keine Schwierigkeiten bereiten. Sei ϵ_{32} eine beliebige, aber feste primitive 32-te Einheitswurzel, ϵ_{16} := ϵ_{32}^{2} und ϵ_{8} := ϵ_{32}^{4}. Eine Basis ist in diesem Fall

(1 − ϵ_{32}^{15}) (1 − ϵ_{32})^{−1}, (1 − ϵ_{32}^{13}) (1 − ϵ_{32})^{−1}, (1 − ϵ_{32}^{11}) (1 − ϵ_{32})^{−1}, (1 − ϵ_{32}^{9}) (1 − ϵ_{32})^{−1}, (1 − ϵ_{32}^{7}) (1 − ϵ_{32})^{−1}, (1 − ϵ_{32}^{5}) (1 − ϵ_{32})^{−1}, (1 − ϵ_{32}^{3}) (1 − ϵ_{32})^{−1}.

Die Darstellung der anderen Erzeugenden lautet wie folgt:

(1 − ϵ_{8}^{3}) (1 − ϵ_{8})^{−1} =^{tor} (1 − ϵ_{32}^{11}) (1 − ϵ_{32}^{5}) (1 − ϵ_{32}^{13})

(1 − ϵ_{32}^{3}) (1 − ϵ_{32}^{9})^{−1}(1 − ϵ_{32}^{7})^{−1} (1 − ϵ_{32}^{15})^{−1}(1 − ϵ_{32})^{−1}

(1 − ϵ_{8}^{−3}) (1 − ϵ_{8})^{−1} =^{tor} (1 − ϵ_{32}^{11}) (1 − ϵ_{32}^{5}) (1 − ϵ_{32}^{13})

(1 − ϵ_{32}^{3}) (1 − ϵ_{32}^{9})^{−1}(1 − ϵ_{32}^{7})^{−1} (1 − ϵ_{32}^{15})^{−1}(1 − ϵ_{32})^{−1}

(1 − ϵ_{16}^{3}) (1 − ϵ_{16})^{−1} =^{tor} (1 − ϵ_{32}^{13}) (1 − ϵ_{32}^{3}) (1 − ϵ_{32}^{15})^{−1}

(1 − ϵ_{32})^{−1}

(1 − ϵ_{16}^{5}) (1 − ϵ_{16})^{−1} =^{tor} (1 − ϵ_{32}^{11}) (1 − ϵ_{32}^{5}) (1 − ϵ_{32}^{15})^{−1}

(1 − ϵ_{32})^{−1}

(1 − ϵ_{16}^{7}) (1 − ϵ_{16})^{−1} =^{tor} (1 − ϵ_{32}^{9}) (1 − ϵ_{32}^{7}) (1 − ϵ_{32}^{15})^{−1}

(1 − ϵ_{32})^{−1}

(1 − ϵ_{16}^{−7}) (1 − ϵ_{16})^{−1} =^{tor} (1 − ϵ_{32}^{9}) (1 − ϵ_{32}^{7}) (1 − ϵ_{32}^{15})^{−1}

(1 − ϵ_{32})^{−1}

(1 − ϵ_{16}^{−5}) (1 − ϵ_{16})^{−1} =^{tor} (1 − ϵ_{32}^{11}) (1 − ϵ_{32}^{5}) (1 − ϵ_{32}^{15})^{−1}

(1 − ϵ_{32})^{−1}

(1 − ϵ_{16}^{−3}) (1 − ϵ_{16})^{−1} =^{tor} (1 − ϵ_{32}^{13}) (1 − ϵ_{32}^{3}) (1 − ϵ_{32}^{15})^{−1}

(1 − ϵ_{32})^{−1}

(1 − ϵ_{32}^{−15}) (1 − ϵ_{32})^{−1} =^{tor} (1 − ϵ_{32}^{15}) (1 − ϵ_{32})^{−1}
(1 − ϵ_{32}^{−13}) (1 − ϵ_{32})^{−1} =^{tor} (1 − ϵ_{32}^{13}) (1 − ϵ_{32})^{−1}

⋮

(1 − ϵ_{32}^{−3}) (1 − ϵ_{32})^{−1} =^{tor} (1 − ϵ_{32}^{3}) (1 − ϵ_{32})^{−1}

3.3.3 n = 35 = 5 · 7

Ein Beispiel mit zwei P-Teilern. Seien ϵ_{5} und ϵ_{7} primitive 5-te beziehungsweise 7-te Einheitswurzeln. Eine Basis ist hier

1 − ϵ_{5}^{2}ϵ_{7}^{−1},  1 − ϵ_{5}^{2}ϵ_{7}^{−2},  1 − ϵ_{5}^{2}ϵ_{7}^{−3},
1 − ϵ_{5}^{2}ϵ_{7}^{3},  1 − ϵ_{5}^{2}ϵ_{7}^{2},  1 − ϵ_{5}ϵ_{7}^{−1},
1 − ϵ_{5}ϵ_{7}^{−2},  1 − ϵ_{5}ϵ_{7}^{−3},  (1 − ϵ_{5}^{2}) (1 − ϵ_{5})^{−1},
(1 − ϵ_{7}^{3}) (1 − ϵ_{7})^{−1}, (1 − ϵ_{7}^{2}) (1 − ϵ_{7})^{−1}.

Die anderen Elemente werden folgendermaßen erzeugt (dabei werden hier, um Platz zu sparen, nur solche Elemente berücksichtigt, die nicht schon modulo Torsion gleich einem Basiselement sind):

1 − ϵ_{5}ϵ_{7} =^{tor} (1 − ϵ_{5}ϵ_{7}^{−1})^{−1}(1 − ϵ_{5}^{2}ϵ_{7}^{−2}) (1 − ϵ_{5}^{2}ϵ_{7}^{−3})

(1 − ϵ_{5}^{2}ϵ_{7}^{3}) (1 − ϵ_{5}^{2}ϵ_{7}^{2}) (1 − ϵ_{5}^{2}) (1 − ϵ_{5})^{−1}(1 − ϵ_{7})^{−1}(1 − ϵ_{7}^{2})

1 − ϵ_{5}ϵ_{7}^{2} =^{tor} (1 − ϵ_{5}ϵ_{7}^{−2})^{−1}(1 − ϵ_{5}^{2}ϵ_{7}^{−2})^{−1}(1 − ϵ_{5}^{2}ϵ_{7}^{2})^{−1}

(1 − ϵ_{7}^{2})^{−1}(1 − ϵ_{7}^{3})

1 − ϵ_{5}ϵ_{7}^{3} =^{tor} (1 − ϵ_{5}ϵ_{7}^{−3})^{−1}(1 − ϵ_{5}^{2}ϵ_{7}^{−3})^{−1}(1 − ϵ_{5}^{2}ϵ_{7}^{3})^{−1}

(1 − ϵ_{7}^{3})^{−1}(1 − ϵ_{7})

1 − ϵ_{5}^{2}ϵ_{7} =^{tor} (1 − ϵ_{5}^{2}ϵ_{7}^{−1})^{−1}(1 − ϵ_{5}^{2}ϵ_{7}^{−2})^{−1}(1 − ϵ_{5}^{2}ϵ_{7}^{−3})^{−1}

(1 − ϵ_{5}^{2}ϵ_{7}^{3})^{−1}(1 − ϵ_{5}^{2}ϵ_{7}^{2})^{−1}(1 − ϵ_{5}^{2})^{−1} (1 − ϵ_{5})

1 − ϵ_{5}^{−2}ϵ_{7}^{−1} =^{tor} (1 − ϵ_{5}^{2}ϵ_{7}^{−1})^{−1}(1 − ϵ_{5}^{2}ϵ_{7}^{−2})^{−1}(1 − ϵ_{5}^{2}ϵ_{7}^{−3})^{−1}

(1 − ϵ_{5}^{2}ϵ_{7}^{3})^{−1}(1 − ϵ_{5}^{2}ϵ_{7}^{2})^{−1}(1 − ϵ_{5}^{2})^{−1} (1 − ϵ_{5})

1 − ϵ_{5}^{−1}ϵ_{7}^{−3} =^{tor} (1 − ϵ_{5}ϵ_{7}^{−3})^{−1}(1 − ϵ_{5}^{2}ϵ_{7}^{−3})^{−1}(1 − ϵ_{5}^{2}ϵ_{7}^{3})^{−1}

(1 − ϵ_{7}^{3})^{−1}(1 − ϵ_{7})

1 − ϵ_{5}^{−1}ϵ_{7}^{−2} =^{tor} (1 − ϵ_{5}ϵ_{7}^{−2})^{−1}(1 − ϵ_{5}^{2}ϵ_{7}^{−2})^{−1}(1 − ϵ_{5}^{2}ϵ_{7}^{2})^{−1}

(1 − ϵ_{7}^{2})^{−1}(1 − ϵ_{7}^{3})

1 − ϵ_{5}^{−1}ϵ_{7}^{−1} =^{tor} (1 − ϵ_{5}ϵ_{7}^{−1})^{−1}(1 − ϵ_{5}^{2}ϵ_{7}^{−2}) (1 − ϵ_{5}^{2}ϵ_{7}^{−3})

(1 − ϵ_{5}^{2}ϵ_{7}^{3}) (1 − ϵ_{5}^{2}ϵ_{7}^{2}) (1 − ϵ_{5}^{2}) (1 − ϵ_{5})^{−1}(1 − ϵ_{7})^{−1}(1 − ϵ_{7}^{2})

3.3.4 n = 60 = 2^{2} · 3 · 5

60 ist die kleinste natürliche Zahl mit drei P-Teilern und inkongruent 2 modulo 4. Es sei ϵ_{d} für d = 3, 4, 5 eine primitive d-te Einheitswurzel. Eine Basis gemäß unserer Konstruktion ist in diesem Fall

1 − ϵ_{4}^{−1}ϵ_{5}^{2}, 1 − ϵ_{4}^{−1}ϵ_{5}, 1 − ϵ_{4}ϵ_{3}^{−1}ϵ_{5}^{2}, 1 − ϵ_{4}ϵ_{3}^{−1}, 1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−1}, 1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−2},

(1 − ϵ_{5}^{2}) (1 − ϵ_{5})^{−1}.

a) Erzeugende, die nicht in E^{(n)} liegen (ϵ_{2} ist natürlich gleich −1, wird hier aber trotzdem ϵ_{2} geschrieben):

1 − ϵ_{2}ϵ_{5} =^{tor} (1 − ϵ_{5})^{−1}(1 − ϵ_{5}^{2})
1 − ϵ_{2}ϵ_{5}^{2} =^{tor} (1 − ϵ_{5}^{2})^{−1}(1 − ϵ_{5})
1 − ϵ_{2}ϵ_{5}^{−2} =^{tor} (1 − ϵ_{5}^{2})^{−1}(1 − ϵ_{5})
1 − ϵ_{2}ϵ_{5}^{−1} =^{tor} (1 − ϵ_{5})^{−1}(1 − ϵ_{5}^{2})
1 − ϵ_{2}ϵ_{3}ϵ_{5} =^{tor} (1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−1})^{−1}(1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−2})^{−1}(1 − ϵ_{5}^{2})^{−1}

(1 − ϵ_{5})

1 − ϵ_{2}ϵ_{3}ϵ_{5}^{2} =^{tor} (1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−1}) (1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−2})^{−1}
1 − ϵ_{2}ϵ_{3}ϵ_{5}^{−2} =^{tor} (1 − ϵ_{5})^{−2}(1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−1})^{−1}(1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−2})

(1 − ϵ_{5}^{2})^{2}

1 − ϵ_{2}ϵ_{3}ϵ_{5}^{−1} =^{tor} (1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−1}) (1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−2}) (1 − ϵ_{5}^{2})^{−1}

(1 − ϵ_{5})

1 − ϵ_{2}ϵ_{3}^{−1}ϵ_{5} =^{tor} (1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−1}) (1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−2}) (1 − ϵ_{5}^{2})^{−1}

(1 − ϵ_{5})

1 − ϵ_{2}ϵ_{3}^{−1}ϵ_{5}^{2} =^{tor} (1 − ϵ_{5})^{−2}(1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−1})^{−1}(1 − ϵ_{5}^{2})^{2}

(1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−2})

1 − ϵ_{2}ϵ_{3}^{−1}ϵ_{5}^{−2} =^{tor} (1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−1}) (1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−2})^{−1}
1 − ϵ_{2}ϵ_{3}^{−1}ϵ_{5}^{−1} =^{tor} (1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−1})^{−1}(1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−2})^{−1}(1 − ϵ_{5}^{2})^{−1}

(1 − ϵ_{5})

Bemerkung: Es gilt 1 − ϵ_{2}ϵ_{3} = 1 + ϵ_{3} = −ϵ_{3}^{2} =^{tor} 1, so daß dieser und ähnliche Fälle in obiger Liste nicht auftauchen.

b) Erzeugende aus einer der Mengen E^{(12)}, E^{(15)} oder E^{(20)}:

(1 − ϵ_{5}^{−2}) (1 − ϵ_{5})^{−1} =^{tor} (1 − ϵ_{5}^{2}) (1 − ϵ_{5})^{−1}
1 − ϵ_{4}ϵ_{3} =^{tor} (1 − ϵ_{4}ϵ_{3}^{−1})^{−1}
1 − ϵ_{4}^{−1}ϵ_{3} =^{tor} 1 − ϵ_{4}ϵ_{3}^{−1}
1 − ϵ_{4}^{−1}ϵ_{3}^{−1} =^{tor} (1 − ϵ_{4}ϵ_{3}^{−1})^{−1}

1 − ϵ_{4}ϵ_{5} =^{tor} (1 − ϵ_{4}ϵ_{5}^{−1})^{−1}(1 − ϵ_{5}^{2})^{−1}(1 − ϵ_{5})
1 − ϵ_{4}ϵ_{5}^{2} =^{tor} (1 − ϵ_{4}ϵ_{5}^{−2})^{−1}(1 − ϵ_{5})^{−1}(1 − ϵ_{5}^{2})
1 − ϵ_{4}^{−1}ϵ_{5} =^{tor} 1 − ϵ_{4}ϵ_{5}^{−1}
1 − ϵ_{4}^{−1}ϵ_{5}^{2} =^{tor} 1 − ϵ_{4}ϵ_{5}^{−2}
1 − ϵ_{4}^{−1}ϵ_{5}^{−2} =^{tor} (1 − ϵ_{4}ϵ_{5}^{−2})^{−1}(1 − ϵ_{5})^{−1}(1 − ϵ_{5}^{2})
1 − ϵ_{3}ϵ_{5} =^{tor} (1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−1})^{−1}(1 − ϵ_{5})^{−1}(1 − ϵ_{5}^{2})
1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{2} =^{tor} (1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−2})^{−1}(1 − ϵ_{5}^{2})^{−1}(1 − ϵ_{5})
1 − ϵ_{3}^{−1}ϵ_{5} =^{tor} 1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−1}
1 − ϵ_{3}^{−1}ϵ_{5}^{2} =^{tor} 1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−2}
1 − ϵ_{3}^{−1}ϵ_{5}^{−2} =^{tor} (1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−2})^{−1}(1 − ϵ_{5}^{2})^{−1}(1 − ϵ_{5})
1 − ϵ_{3}^{−1}ϵ_{5}^{−1} =^{tor} (1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−1})^{−1}(1 − ϵ_{5})^{−1}(1 − ϵ_{5}^{2})

c) sonstige Erzeugende:

1 − ϵ_{4}ϵ_{3}ϵ_{5} =^{tor} (1 − ϵ_{5})^{−1}(1 − ϵ_{5}^{2}) (1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−1})

(1 − ϵ_{4}ϵ_{3}^{−1}ϵ_{5}^{2}) (1 − ϵ_{4}ϵ_{3}^{−1}) (1 − ϵ_{4}^{−1}ϵ_{5}^{2})^{−1}

1 − ϵ_{4}ϵ_{3}ϵ_{5}^{2} =^{tor} (1 − ϵ_{4}ϵ_{3}^{−1}ϵ_{5}^{2})^{−1}(1 − ϵ_{5}^{2})^{−1}(1 − ϵ_{5})

(1 − ϵ_{4}^{−1}ϵ_{5}^{2}) (1 − ϵ_{4}^{−1}ϵ_{5})

1 − ϵ_{4}ϵ_{3}ϵ_{5}^{−2} =^{tor} (1 − ϵ_{4}ϵ_{3}^{−1}ϵ_{5}^{2})^{−1}(1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−1})^{−1}(1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−2})^{−1}

(1 − ϵ_{5}^{2})^{−1}(1 − ϵ_{5})

1 − ϵ_{4}ϵ_{3}ϵ_{5}^{−1} =^{tor} (1 − ϵ_{4}ϵ_{3}^{−1}ϵ_{5}^{2}) (1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−2}) (1 − ϵ_{5}^{2})

(1 − ϵ_{5})^{−1}(1 − ϵ_{4}^{−1}ϵ_{5})^{−1}(1 − ϵ_{4}ϵ_{3}^{−1})

1 − ϵ_{4}ϵ_{3}^{−1}ϵ_{5} =^{tor} (1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−1})^{−1}(1 − ϵ_{4}ϵ_{3}^{−1}ϵ_{5}^{2})^{−1}(1 − ϵ_{4}ϵ_{3}^{−1})^{−1}

(1 − ϵ_{4}^{−1}ϵ_{5}) (1 − ϵ_{5})^{−1}(1 − ϵ_{5}^{2})

1 − ϵ_{4}ϵ_{3}^{−1}ϵ_{5}^{−2} =^{tor} (1 − ϵ_{4}ϵ_{3}^{−1}ϵ_{5}^{2}) (1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−1}) (1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−2})

(1 − ϵ_{4}^{−1}ϵ_{5}^{2})^{−1}(1 − ϵ_{4}^{−1}ϵ_{5})^{−1}

1 − ϵ_{4}ϵ_{3}^{−1}ϵ_{5}^{−1} =^{tor} (1 − ϵ_{5}) (1 − ϵ_{5}^{2})^{−1}(1 − ϵ_{4}ϵ_{3}^{−1}ϵ_{5}^{2})^{−1}

(1 − ϵ_{4}ϵ_{3}^{−1})^{−1}(1 − ϵ_{4}^{−1}ϵ_{5}^{2}) (1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−2})^{−1}

1 − ϵ_{4}^{−1}ϵ_{3}ϵ_{5} =^{tor} (1 − ϵ_{5}) (1 − ϵ_{5}^{2})^{−1}(1 − ϵ_{4}ϵ_{3}^{−1}ϵ_{5}^{2})^{−1}

(1 − ϵ_{4}ϵ_{3}^{−1})^{−1}(1 − ϵ_{4}^{−1}ϵ_{5}^{2}) (1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−2})^{−1}

1 − ϵ_{4}^{−1}ϵ_{3}ϵ_{5}^{2} =^{tor} (1 − ϵ_{4}ϵ_{3}^{−1}ϵ_{5}^{2}) (1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−1}) (1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−2})

(1 − ϵ_{4}^{−1}ϵ_{5}^{2})^{−1}(1 − ϵ_{4}^{−1}ϵ_{5})^{−1}

1 − ϵ_{4}^{−1}ϵ_{3}ϵ_{5}^{−2} =^{tor} 1 − ϵ_{4}ϵ_{3}^{−1}ϵ_{5}^{2}

1 − ϵ_{4}^{−1}ϵ_{3}ϵ_{5}^{−1} =^{tor} (1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−1})^{−1}(1 − ϵ_{4}ϵ_{3}^{−1}ϵ_{5}^{2})^{−1}(1 − ϵ_{4}ϵ_{3}^{−1})^{−1}
(1 − ϵ_{4}^{−1}ϵ_{5}) (1 − ϵ_{5})^{−1}(1 − ϵ_{5}^{2})
1 − ϵ_{4}^{−1}ϵ_{3}^{−1}ϵ_{5} =^{tor} (1 − ϵ_{4}ϵ_{3}^{−1}ϵ_{5}^{2}) (1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−2}) (1 − ϵ_{5}^{2})
(1 − ϵ_{5})^{−1}(1 − ϵ_{4}^{−1}ϵ_{5})^{−1}(1 − ϵ_{4}ϵ_{3}^{−1})
1 − ϵ_{4}^{−1}ϵ_{3}^{−1}ϵ_{5}^{2} =^{tor} (1 − ϵ_{4}ϵ_{3}^{−1}ϵ_{5}^{2})^{−1}(1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−1})^{−1}(1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−2})^{−1}
(1 − ϵ_{5}^{2})^{−1}(1 − ϵ_{5})
1 − ϵ_{4}^{−1}ϵ_{3}^{−1}ϵ_{5}^{−2} =^{tor} (1 − ϵ_{4}ϵ_{3}^{−1}ϵ_{5}^{2})^{−1}(1 − ϵ_{5}^{2})^{−1}(1 − ϵ_{5})
(1 − ϵ_{4}^{−1}ϵ_{5}^{2}) (1 − ϵ_{4}^{−1}ϵ_{5})
1 − ϵ_{4}^{−1}ϵ_{3}^{−1}ϵ_{5}^{−1} =^{tor} (1 − ϵ_{5})^{−1}(1 − ϵ_{5}^{2}) (1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−1})
(1 − ϵ_{4}ϵ_{3}^{−1}ϵ_{5}^{2}) (1 − ϵ_{4}ϵ_{3}^{−1}) (1 − ϵ_{4}^{−1}ϵ_{5}^{2})^{−1}

3.3.5 Weitere Fälle

Eine Auflistung, wie sie in den vorherigen Abschnitten durchgeführt wurde, ist natürlich auch für größere Zahlen n mit höchstens drei P-Teilern möglich. Sie bringt allerdings nichts substantiell Neues. Hauptsächlich ist die Basisdarstellung von 1−ϵ_{n} = 1−ϵ_{q}ϵ_{r}ϵ_{s} interessant, da diese zu einer Relation innerhalb der zyklotomischen Einheiten führt, die nicht direkt durch N_{q}, N_{r} oder N_{s} geliefert wird. Im Fall n = 105 = 3 · 5 · 7 lautet diese Relation:

1 − ϵ_{3}ϵ_{5}ϵ_{7} =^{tor} (1 − ϵ_{3}^{−1}ϵ_{7}^{3})^{−1}(1 − ϵ_{7}^{2})^{−1}(1 − ϵ_{7})
(1 − ϵ_{5}^{2}ϵ_{7}^{3})^{−1}(1 − ϵ_{5}^{2}ϵ_{7}^{−2})^{−1}(1 − ϵ_{5}ϵ_{7}^{−1})
(1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−2}ϵ_{7}^{2}) (1 − ϵ_{5}^{2}ϵ_{7}^{−1})^{−1}(1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−1}ϵ_{7}^{2})
(1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−2}ϵ_{7}^{3}) (1 − ϵ_{5}^{2}ϵ_{7}^{2})^{−2}(1 − ϵ_{5}ϵ_{7}^{−3})
(1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−1}ϵ_{7}^{3}) (1 − ϵ_{5}^{2})^{−2}(1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−1})
(1 − ϵ_{3}^{−1}ϵ_{5}^{2}ϵ_{7}) (1 − ϵ_{3}^{−1}ϵ_{7}^{2})^{−1}(1 − ϵ_{5})^{2}.

Im Fall n = 900 = 2^{2} · 3^{2} · 5^{2}, das kleinste Beispiel, in dem alle Primfaktoren mindestens quadratisch vorkommen, ist die Darstellung von 1 − ϵ_{4}ϵ_{9}ϵ_{25}:

1 − ϵ_{4}ϵ_{9}ϵ_{25} =^{tor} (1 − ϵ_{4}^{−1}ϵ_{25}^{7})^{−1}(1 − ϵ_{4}^{−1}ϵ_{25}^{6}) (1 − ϵ_{9}^{2}ϵ_{25}^{4})^{−1}
(1 − ϵ_{9}^{2}ϵ_{25}^{−4})^{−1}(1 − ϵ_{9}ϵ_{25}^{−4})^{−1}(1 − ϵ_{4}ϵ_{9}^{−4}ϵ_{25}^{2})
(1 − ϵ_{4}ϵ_{9}^{−2}ϵ_{25}^{2}) (1 − ϵ_{4}ϵ_{9}^{−1}ϵ_{25}^{2}) (1 − ϵ_{25}^{7})^{−1}
(1 − ϵ_{9}^{2}ϵ_{25}^{6})^{−1}(1 − ϵ_{9}^{4}ϵ_{25}^{6})^{−1}(1 − ϵ_{9}^{2}ϵ_{25}^{−6})^{−1}
(1 − ϵ_{9}ϵ_{25}^{−6})^{−1}(1 − ϵ_{4}ϵ_{9}^{−4}ϵ_{25}^{3}) (1 − ϵ_{4}ϵ_{9}^{−2}ϵ_{25}^{3})
(1 − ϵ_{4}ϵ_{9}^{−1}ϵ_{25}^{3}) (1 − ϵ_{4}ϵ_{9}^{−4}ϵ_{25}^{4}) (1 − ϵ_{4}ϵ_{9}^{−2}ϵ_{25}^{4})
(1 − ϵ_{4}ϵ_{9}^{−1}ϵ_{25}^{4}) (1 − ϵ_{4}ϵ_{9}^{−4}ϵ_{25}^{6}) (1 − ϵ_{4}ϵ_{9}^{−2}ϵ_{25}^{6})

(1 − ϵ_{4}ϵ_{9}^{−1}ϵ_{25}^{6}) (1 − ϵ_{4}ϵ_{9}^{−4}ϵ_{25}^{7}) (1 − ϵ_{25}^{2})^{−1} (1 − ϵ_{25}^{9}) (1 − ϵ_{9}^{4}ϵ_{25}^{3}) (1 − ϵ_{9}ϵ_{25}^{−3}) (1 − ϵ_{4}ϵ_{9}^{−2}ϵ_{25}^{7}) (1 − ϵ_{4}ϵ_{9}^{−1}ϵ_{25}^{7}) (1 − ϵ_{4}^{−1}ϵ_{25}^{3})^{−1} (1 − ϵ_{4}ϵ_{9}^{−4}ϵ_{25}^{8}) (1 − ϵ_{25}^{4})^{2}(1 − ϵ_{9}^{4}ϵ_{25}^{7}) (1 − ϵ_{9}ϵ_{25}^{−7}) (1 − ϵ_{4}ϵ_{9}^{−2}ϵ_{25}^{8}) (1 − ϵ_{4}ϵ_{9}^{−1}ϵ_{25}^{8}) (1 − ϵ_{4}^{−1}ϵ_{25}^{2}) (1 − ϵ_{4}ϵ_{9}^{−4}ϵ_{25}^{9}) (1 − ϵ_{25})^{−1} (1 − ϵ_{9}^{4}ϵ_{25}^{11}) (1 − ϵ_{9}ϵ_{25}^{−11}) (1 − ϵ_{4}ϵ_{9}^{−2}ϵ_{25}^{9}) (1 − ϵ_{4}ϵ_{9}^{−1}ϵ_{25}^{9}) (1 − ϵ_{4}^{−1}ϵ_{25})^{−1}(1 − ϵ_{4}^{−1}ϵ_{25}^{8}) (1 − ϵ_{4}ϵ_{9}^{−4}ϵ_{25}^{11}) (1 − ϵ_{4}ϵ_{9}^{−2}ϵ_{25}^{11}) (1 − ϵ_{4}ϵ_{9}^{−1}ϵ_{25}^{11}) (1 − ϵ_{4}^{−1}ϵ_{25}^{11}) (1 − ϵ_{4}ϵ_{9}^{−4}ϵ_{25}^{12}) (1 − ϵ_{4}ϵ_{9}^{−2}ϵ_{25}^{12}) (1 − ϵ_{9}^{4}) (1 − ϵ_{9}^{2}ϵ_{25}^{2})^{−1}(1 − ϵ_{4}ϵ_{9}^{−1}ϵ_{25}^{12}) (1 − ϵ_{4}^{−1}ϵ_{9}^{2}ϵ_{25}) (1 − ϵ_{25}^{6})^{−1}(1 − ϵ_{9})^{−1} (1 − ϵ_{4}ϵ_{9}^{−2}) (1 − ϵ_{4}^{−1}ϵ_{9}^{4}ϵ_{25}) (1 − ϵ_{9}^{2}ϵ_{25}^{8})^{−1} (1 − ϵ_{9}^{2}ϵ_{25}^{12})^{−1}(1 − ϵ_{9}^{2}ϵ_{25}^{−9})^{−1}(1 − ϵ_{9}^{2}ϵ_{25}^{−1})^{−1} (1 − ϵ_{25}^{3}) (1 − ϵ_{9}^{2}ϵ_{25}^{−2})^{−1}.

Anhang A

Es sei m eine natürliche Zahl und χ ein Charakter modulo m ungleich dem Hauptcharakter. Es wird das Nichtverschwinden von L(1, χ) hergeleitet. Dazu betrachten wir für ein reelles s ≥ 1 die unendliche Reihe

L(s, χ) := ∑_{n=1}^{∞} \frac{χ(n)}{n^{s}}.

Zur Konvergenz der Reihe und zum Nichtverschwinden dieser Funktion im Punkte 1 gibt es in der Literatur zahlreiche Beweise. Als “Standardbeweis” hat sich ein Beweis herausgebildet, der mit Hilfe von Sätzen aus der Funktionentheorie arbeitet. In diesem Anhang wird nun ein Beweis geführt, der ohne wesentlichen Einstieg in die Funktionentheorie auskommt. Es wird statt dessen mit Idealen zyklotomischer Körper gerechnet. Ein solcher Beweis, der die Eigenschaften zyklotomischer Körper benutzt, erscheint im Zusammenhang mit dieser Arbeit angemessener als ein mit Hilfe von Funktionentheorie geführter. Die folgenden Lemmata sind bis auf Lemma 2, das im Kern auf einen Artikel von Zassenhaus zurückgeht, Standardargumente, wie sie im Zusammenhang mit der L-Funktion öfters verwendet werden. \underline{Lemma 1} Es sei χ ein Charakter modulo m, aber nicht der Hauptcharakter. Dann konvergiert L(s, χ) für s ≥ 1 und ist in s = 1 eine rechtsstetige Funktion. \underline{Beweis} Wir zeigen zuerst, daß L(s, χ) für s ≥ 1 konvergiert und es eine positive Zahl c_{1} gibt, so daß für alle K ∈ IN und s ≥ 1 die Abschätzung

| ∑_{n=K}^{∞} \frac{χ(n)}{n^{s}}| ≤ \frac{c_{1}}{K}

gilt. Dazu benutzen wir das Abelsche Lemma (vgl. Serre, S. 109, Lemma 2): Seien zu zwei natürlichen Zahlen M und N für M ≤ n ≤ N Zahlen a_{n} und b_{n} gegeben. Dann ist

∑_{n=M}^{N} a_{n}b_{n} = ∑_{n=M}^{N−1}(( ∑_{ν=M}^{n} a_{ν})(b_{n} − b_{n+1})) + b_{N} ∑_{ν=M}^{N} a_{ν}.

Dies folgt aus

\begin{matrix}r.S. = ∑_{n=M}^{N} ∑_{ν=M}^{n} a_{ν}b_{n} − ∑_{n=M}^{N−1} ∑_{ν=M}^{n} a_{ν}b_{n+1} = ∑_{n=M}^{N} ∑_{ν=M}^{n} a_{ν}b_{n} − ∑_{n=M+1}^{N} ∑_{ν=M}^{n−1} a_{ν}b_{n+1} \\ = ∑_{n=M+1}^{N} \underbrace{( ∑_{ν=M}^{n} a_{ν} − ∑_{ν=M}^{n−1} a_{ν})}_{=a_{n}} b_{n} + a_{M}b_{M} = ∑_{n=M}^{N} a_{n}b_{n}. \end{matrix}

Es gilt, da χ nicht Hauptcharakter ist,

∑_{a=1}^{m} χ(a) = 0.

Allgemeiner folgt daraus, da χ(a + m) = χ(a) ist, sogar

∑_{a=km+1}^{(k+1)m} χ(a) = 0

mit k aus ZZ beliebig. Man erhält damit für zwei natürliche Zahlen M und N

| ∑_{n=M}^{N} χ(n)| ≤ c_{1}

mit einer positiven Zahl c_{1} unabhängig von M und N. Sei nun K ∈ IN. Wendet man auf

∑_{n=K}^{N} \frac{χ(n)}{n^{s}}

das Abelsche Lemma mit a_{n} := χ(n) und b_{n} := \frac{1}{n^{s}} an und schätzt die auftretenden Summen durch c_{1} ab, so erhält man

| ∑_{n=K}^{N} \frac{χ(n)}{n^{s}}| = | ∑_{n=K}^{N−1} (( ∑_{ν=K}^{n} χ(ν))(\frac{1}{n^{s}} − \frac{1}{(n + 1)^{s}})) + \frac{1}{N^{s}} ∑_{ν=K}^{N} χ(ν)|

≤ c_{1}| ∑_{n=K}^{N−1}(\frac{1}{n^{s}} − \frac{1}{(n + 1)^{s}})| + c_{1} \frac{1}{N^{s}} ≤ c_{1} ((\frac{1}{K^{s}} − \frac{1}{N^{s}}) + \frac{1}{N^{s}}) ≤ \frac{c_{1}}{K} ,

für s ≥ 1 und alle N ∈ IN, und es folgt die Konvergenz von L(s, χ) nach dem Cauchyschen Konvergenzkriterium. Es bleibt zu zeigen, daß L(s, χ) für einen Charakter χ ungleich dem Hauptcharakter eine in s = 1 rechtsstetige Funktion ist. Mit anderen Worten für jedes δ > 0 ist ein s_{0} > 1 zu finden, so daß |L(1, χ) − L(s, χ)| < δ gilt für 1 < s < s_{0}. Für K ∈ IN beliebig folgt aus der Dreiecksungleichung

|L(1, χ) − L(s, χ)| ≤ | ∑_{n=K}^{∞} \frac{χ(n)}{n}| + | ∑_{n=K}^{∞} \frac{χ(n)}{n^{s}}| + | ∑_{n=1}^{K−1} \frac{χ(n)}{n} − ∑_{n=1}^{K−1} \frac{χ(n)}{n^{s}}|

≤ \frac{2c_{1}}{K} + | ∑_{n=1}^{K−1} \frac{χ(n)}{n} − ∑_{n=1}^{K−1} \frac{χ(n)}{n^{s}}|.

Man betrachtet nun diese Ungleichung für ein K, für das der erste Term kleiner als δ/2 wird, und wählt s_{0} genügend dicht an 1, so daß auch der zweite Term für 1 < s < s_{0} kleiner δ/2 wird.

qed.

Wir werden in den nächsten drei Lemmata zeigen, daß es eine positive Konstante c gibt, so daß für alle s > 1 die Abschätzung L(s, χ) ≥ c gilt. Auf Grund der eben bewiesenen Stetigkeit folgt dann L(1, χ) ≥ c. Für ein Ideal A⊴ZZ[ϵ_{m}] sei die Norm N(A) definiert als die Anzahl der Elemente in ZZ[ϵ_{m}]/A. Es gilt für zwei Ideale A und B, daß N(A) · N(B) = N(A · B) ist, und es ist N(A) = |N(α)|, falls A = (α) Hauptideal ist. Die Norm N(α) ist dabei das Produkt über alle Konjugierten von α (siehe z.B. Ireland, Rosen, S. 203, Prop. 14.1.1 und Prop. 14.1.3). Wir definieren für s > 1 die Dirichletsche Zeta-Funktion durch

ζ(s) := ∑_{A} \frac{1}{N(A)^{s}} ,

wobei die Summe über alle Ideale A ≠ (0) von ZZ[ϵ_{n}] gebildet wird.

\underline{Lemma 2} Es existiert eine positive Konstante c_{2}, so daß für alle s > 1 die Abschätzung

ζ(s) ≥ c_{2} ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{s}}

gilt. \underline{Beweis} Der Beweis geht auf Zassenhaus zurück und beruht auf der expliziten Konstruktion von genügend vielen Hauptidealen. Sei k := ϕ(m). Die Einheitswurzeln ϵ_{m}^{i} bilden dann für 0 ≤ i ≤ k − 1 eine Basis von ZZ[ϵ_{m}]. Für eine natürliche Zahl t betrachten wir die Menge

B_{t} := {ξ ∈ ZZ[ϵ_{m}] | ξ = ∑_{i=0}^{k−1} a_{i}ϵ_{m}^{i}, a_{i} ∈ ZZ,

|a_{0} − \frac{3}{4}t^{1/k}| < \frac{1}{4k} t^{1/k}, |a_{i}| < \frac{1}{4k} t^{1/k} für 0 < i < k\}.

Einen Punkt (a_{0}, …, a_{k−1}), für den ξ = ∑ a_{i}ϵ_{m}^{i} in B_{t} liegt, kann man sich als Gitterpunkt innerhalb eines k-dimensionalen Würfels der Kantenlänge \frac{1}{4k} t^{1/k} vorstellen. Für jedes a_{i} hat man mindestens 2 · \frac{1}{4k} t^{1/k} − 3 Wahlmöglichkeiten, also gilt

#B_{t} ≥ (\frac{1}{2k} t^{1/k} − 3)^{k} ≥ c_{3}t

für t > t_{0} mit geigneten positiven Konstanten c_{3} und t_{0}. Schätzt man die Norm einer Zahl ξ aus B_{t} ab, so erhält man (mit σ seien die Automorphismen von Q[ϵ_{m}] bezeichnet)

|N(ξ)| = | ∏_{σ} σ(ξ)| = ∏_{σ} | ∑_{i} a_{i}σ(ϵ_{m}^{i})|
≤ ∏_{σ} ∑_{i} |a_{i}| = (∑_{i} |a_{i}|)^{k} ≤ (t^{1/k}(\frac{3}{4} + \frac{1}{4k} + (k − 1) · \frac{1}{4k}))^{k} = t.

Hierin wurde a_{0} durch \frac{3}{4} + \frac{1}{4k} und die k − 1 restlichen a_{i} durch \frac{1}{4k} abgeschätzt. Es gilt also für jedes ξ ∈ B_{t}, daß

|N(ξ)| ≤ t

ist. Wir zeigen, daß die von zwei verschiedenen Zahlen ξ = ∑ a_{i}ϵ_{m}^{i} und ξ′ = ∑ a′_{i}ϵ_{m}^{i} aus B_{t} erzeugten Ideale verschieden sind: Zunächst erhält man für i = 0, …, k − 1 die Abschätzungen

|a_{i} − a′_{i}| < \frac{1}{2k} t^{1/k}

und

| ∑_{i=0}^{k−1} a_{i}ϵ_{m}^{i}| ≥ |a_{0}| − ∑_{i=1}^{k−1} |a_{i}| ≥ t^{1/k}(\frac{3}{4} − \frac{1}{4k} − (k − 1)\frac{1}{4k}) = \frac{1}{2}t^{1/k},

so daß

|N(\frac{ξ′}{ξ} − 1)| = \frac{|N(ξ′ − ξ)|}{|N(ξ)|} ≤ ∏_{σ} \frac{∑ |a′_{i} − a_{i}|}{| ∑ a_{i}ϵ_{m}^{i}|} < \frac{k \frac{1}{2k} t^{1/k}}{\frac{1}{2}t^{1/k}} = 1  (∗)

ist. Erzeugen nun ξ und ξ′ das gleiche Ideal, so gilt ξ′ ∈ (ξ), und es ist dann N(ξ′/ξ − 1) ∈ ZZ. Nach (∗) folgt N(ξ′/ξ − 1) = 0, also ξ′ = ξ. Bezeichnet C(t) die Anzahl aller Ideale A ≠ (0) mit N(A) ≤ t, so folgt

C(t) ≥ #B_{t} ≥ c_{3}t für t > t_{0}.

Da wegen N(1) = 1 zusätzlich C(t) ≥ 1 für t ≥ 1 ist, folgt

C(t) ≥ c_{2}t

mit c_{2} := min{1/t_{0}, c_{3}}.

Man erhält schließlich (C(0) = 0):

∑_{0<N(A)≤t} \frac{1}{N(A)^{s}} = ∑_{n=1}^{t} \frac{C(n) − C(n − 1)}{n^{s}}

= ∑_{n=1}^{t} \frac{C(n)}{n^{s}} − ∑_{n=0}^{t−1} \frac{C(n)}{(n + 1)^{s}} = \frac{C(t)}{t^{s}} + ∑_{n=1}^{t−1} C(n)(\frac{1}{n^{s}} − \frac{1}{(n + 1)^{s}})

≥ c_{1}(\frac{t}{t^{s}} + ∑_{n=1}^{t−1}(\frac{n}{n^{s}} − \frac{n + 1}{(n + 1)^{s}} + \frac{1}{(n + 1)^{s}}))

= c_{1}(\frac{t}{t^{s}} + 1 − \frac{t}{t^{s}} + ∑_{n=1}^{t−1} \frac{1}{(n + 1)^{s}}) = c_{1} ∑_{n=1}^{t} \frac{1}{n^{s}} .

Mit t → ∞ folgt die Behauptung.

qed.

\underline{Lemma 3} Es gibt eine positive Konstante c_{4}, so daß für s > 1 die Abschätzung

c_{4} + ϕ(m) ∑_{p≡1(m)} \frac{1}{p^{s}} ≥ log ζ(s)

gilt. \underline{Beweis} Wir führen den Beweis in drei Schritten. \underline{1. Schritt} Es gilt für ein zu (m) teilerfremdes Primideal P ⊴ ZZ[ϵ_{m}]

N(P) ≡ 1 mod m.

Man betrachte dazu die multiplikative Gruppe des Körpers ZZ[ϵ_{m}]/P, die gerade N(P)−1 Elemente enthält, und die Menge Ψ_{m} := {ϵ_{m}^{a}, a = 0, …, m−1} der mten Einheitswurzeln. Die Bildmenge von Ψ_{m} unter der kanonischen Abbildung κ : ZZ[ϵ_{m}] → ZZ[ϵ_{m}]/P bildet eine Untergruppe in (ZZ[ϵ_{m}]/P)^{∗}. Ist κ eingeschränkt auf Ψ_{m} injektiv, so hat man m|N(P) − 1, und die Behauptung ist gezeigt. Die Injektivität von κ ergibt sich wie folgt: Da ∏_{ϵ}(x − ϵ) = x^{m} − 1 = (x − 1)(x^{m−1} + ⋯ + x + 1) ist, wobei ϵ ganz Ψ_{m} durchläuft, erhält man durch Division von x − 1 und Einsetzen von x = 1, daß ∏_{ϵ≠1}(1 − ϵ) = m ist. Nimmt man an, daß κ|Ψ_{m} nicht injektiv ist, so existiert ein ϵ ≠ 1 mit κ(ϵ) = 1, und da κ Homomorphismus ist, wird

κ(m) = κ(∏_{ϵ≠1}(1 − ϵ)) = ∏_{ϵ≠1}(1 − κ(ϵ)) = 0,

also m ∈ P, was ein Widerspruch zur Voraussetzung ist.

\underline{2. Schritt} Die Anzahl der Primideale P mit N(P) = p^{f} ist kleiner als ϕ(m). Dies folgt sofort aus der Primidealzerlegung von (p). Denn aus N(P) = p^{f} folgt p ∈ P, so daß also P in der (eindeutigen) Zerlegung (p) = P_{1} · . . . · P_{g} in Primideale als Faktor enthalten ist. Bildet man jetzt die Norm auf beiden Seiten, so erhält man

p^{ϕ(m)} = N((p)) = N(P_{1}) · . . . · N(P_{g}) ≥ p^{g},

also g ≤ ϕ(m). \underline{3. Schritt} Da jedes Ideal A ≠ (0) von ZZ[ϵ_{n}] eine eindeutige Zerlegung in Primideale besitzt, erhalten wir für die Dirichletsche Zeta-Funktion die Darstellung (wir können die Reihe beliebig umordnen, weil alle Summanden positiv sind)

ζ(s) = ∑_{A} \frac{1}{N(A)^{s}} = ∏_{P prim}(1 + \frac{1}{N(P)^{s}} + \frac{1}{N(P)^{2s}} + ⋯)
= ∏_{P prim} \frac{1}{1 − 1/N(P)^{s}} .

(∗)

Weiter hat man die Abschätzung

\begin{aligned}∑_{ν=2}^{∞} \frac{1}{νN(P)^{νs}} & ≤ & ∑_{ν=2}^{∞} \frac{1}{N(P)^{νs}} = \frac{1}{N(P)^{2s}} ∑_{ν=0}^{∞} \frac{1}{N(P)^{νs}} \\ & ≤ & \frac{1}{N(P)^{2s}} ∑_{ν=0}^{∞} \frac{1}{2^{ν}} = \frac{2}{N(P)^{2s}} . \end{aligned}  (∗∗)

Logarithmiert man nun (∗), setzt die Taylorentwicklung von log(1 − x) = − ∑ x^{ν}/ν ein und schätzt diese mit (∗∗) ab, erhält man

log ζ(s) = log ∏_{P prim} \frac{1}{1 − 1/N(P)^{s}} = ∑_{P prim} log(1 − \frac{1}{N(P)^{s}})^{−1}

= ∑_{P prim} ∑_{ν=1}^{∞} \frac{1}{νN(P)^{νs}} ≤ ∑_{P prim}(\frac{1}{N(P)^{s}} + \frac{2}{N(P)^{2s}})

≤ ϕ(m)( ∑_{p≡1 mod m} \frac{1}{p^{s}} + ∑_{p} \frac{3}{p^{2}} ) + c_{5}.

Die letzte Ungleichung ist dabei folgendermaßen begründet: Falls N(P) = p und P teilerfremd zu (m), so ist nach dem 1. Schritt p ≡ 1 mod m. Ist N(P) = p^{f} eine höhere Primzahlpotenz (also f ≥ 2), so wird N(P)^{s} großzügig mit p^{2} abgeschätzt. Aus dem 2. Schritt wissen wir, daß jede Primzahl höchstens ϕ(m)- mal als Norm eines Primideals auftritt, was zum Faktor ϕ(m) vor der Summe führt. Schließlich sei die endliche Summe über alle zu (m) nicht teilerfremden Primideale durch c_{5} abgeschätzt. Da ∑_{p} \frac{1}{p^{2}} konvergiert, folgt die Behauptung mit c_{4} := ϕ(m) ∑_{p} \frac{3}{p^{2}} + c_{5}.

qed.

\underline{Lemma 4} Es gilt für s > 1 die Abschätzung

log | ∏_{χ} L(s, χ)| ≥ ϕ(m) ∑_{p≡1(m)} \frac{1}{p^{s}} .

Das Produkt wird dabei über alle Charaktere χ modulo m gebildet. \underline{Beweis} Wir haben für die L-Funktion die Darstellung als Eulerprodukt gemäß

L(s, χ) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{χ(n)}{n^{s}} = ∏_{p prim}(1 + \frac{χ(p)}{p^{s}} + \frac{χ(p)^{2}}{p^{2s}} + ⋯) = ∏_{p prim} \frac{1}{1 − χ(p)/p^{s}} ,

und es folgt

log ∏_{χ} L(s, χ) = ∑_{χ} ∑_{p} − log(1 − \frac{χ(p)}{p^{s}}) = ∑_{χ} ∑_{p} ∑_{ν=1}^{∞} \frac{χ(p)^{ν}}{νp^{νs}}
= ∑_{p^{ν}}(\frac{1}{νp^{νs}} ∑_{χ} χ(p^{ν})) = ϕ(m) ∑_{p^{ν}≡1 mod m} \frac{1}{νp^{νs}} ,

da

∑_{χ} χ(a) = \{ \begin{matrix}ϕ(m) & falls a ≡ 1 mod m \\ 0 & sonst. \end{matrix}

Genaugenommen wird die Rechnung, da wir es hier mit dem komplexen Logarithmus zu tun haben, modulo 2πi geführt. Für ein komplexes z ist log(z) = log |z| + i arg(z). Es folgt

log | ∏_{χ} L(s, χ)| = ϕ(m) ∑_{p^{ν}≡1 mod m} \frac{1}{νp^{νs}} ,

da der Term auf der rechten Seite reell ist. Lassen wir nun in der Summe alle Summanden bis auf diejenigen mit ν = 1 weg, so ergibt sich

log | ∏_{χ} L(s, χ)| ≥ ϕ(m) ∑_{p≡1 mod m} \frac{1}{p^{s}} .

\underline{Satz 8 ( L(1, χ) ≠ 0)} Sei χ ein Charakter modulo m, aber nicht der Hauptcharakter. Es gilt für die Dirichletsche L-Funktion

L(1, χ) ≠ 0.

\underline{Beweis} Es genügt, da L(s, χ) nach Lemma 1 für einen Charakter χ ungleich dem Hauptcharakter eine im Punkte 1 rechtsstetige Funktion ist, zu zeigen, daß es eine positive Konstante c_{6} gibt, so daß für alle s > 1 die Abschätzung

|L(s, χ)| ≥ c_{6} > 0

gilt. Nach den Lemmata 3 und 4 hat man mit der Konstanten c_{4} aus Lemma 3, daß

c_{4} + log | ∏_{χ} L(s, χ)| ≥ log ζ(s)

ist, also

e^{c_{4}}| ∏_{χ} L(s, χ)| ≥ ζ(s).

Mit Lemma 2 und der dort definierten Konstanten c_{2} folgt

e^{c_{4}}| ∏_{χ} L(s, χ)| ≥ ζ(s) ≥ c_{2} ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{s}} .

Bezeichnet χ_{1} den Hauptcharakter, so ist

∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{s}} ≥ ∑_{n=1}^{∞} \frac{χ_{1}(n)}{n^{s}} = L(s, χ_{1}),

da χ_{1}(n) als Werte nur 0 und 1 annimmt. Man erhält schließlich

e^{c_{4}}| ∏_{χ≠χ_{1}} L(s, χ)| ≥ c_{2} > 0.

Weil L(s, χ) für χ ≠ χ_{1} auf einem kompakten Intervall [1, 1 + δ] stetig ist, ist die Funktion dort beschränkt, so daß dort also

|L(s, χ)| < c_{7}

für eine positive Konstante c_{7} gilt (c_{7} kann unabhängig von χ gewählt werden). Man erhält für einen festen Charakter χ̂

c_{7}^{ϕ(m)−2}e^{c_{4}}|L(s, χ̂)| ≥ e^{c_{4}} ∏_{χ≠χ_{1}} |L(s, χ)| ≥ c_{2} > 0,

also

|L(s, χ̂)| ≥ c_{2}c_{7}^{2−ϕ(m)}e^{−c_{4}} =: c_{6} > 0.

qed.

Weitere Literatur zu diesem Thema: Sätze, in denen das Nichtverschwinden der L-Funktion mittels Funktionentheorie bewiesen wird, finden sich bei

– J.– P. Serre: Cours d’arithmétique, Presses Universitaires de France, Paris 1970, S. 118, Proposition 12,

– G. Frey: Elementare Zahlentheorie, Vieweg, Braunschweig 1984, S. 111, Lemma 4.

Eine umfassende Darstellung dieses Themas mit verschiedenen Beweisen findet sich bei

– H. Hasse: Zahlentheorie, Akademie Verlag, Berlin 1963, S. 238-283.

Hasse bringt auch Verweise auf weitere Veröffentlichungen mit alternativen Beweisen zum Nichtverschwinden der L-Funktion im Punkte 1.

Anhang B

Das folgende Programm liefert bei Eingabe von n eine Basis und die Darstellung durch Erzeugende. Es ist innerhalb des Computeralgebrasystems SIMATH geschrieben. Insbesondere wird dessen Listenverwaltung genutzt. Die einzelnen Funktionen sind innerhalb des Listings erklärt. Das Programm liefert eine Ausgabe, die innerhalb eines in L^{A}TEX geschriebenen Textes verwendet werden kann. An das Programm schließt sich ein Beispiel einer Originalausgabe für die Eingabe n = 15 an.

#include<_simath.h>
#define cyc int
/* qB := \bar{q}, qT :=  \tilde{q}  etc.  */
static single q = 0, qT = 0, qB = 0;
static single r = 0, rT = 0, rB = 0;
static single s = 0, sT = 0, sB = 0;
static list L_111 = 0;
/*C
        cycinit( n )
    "cyclotomic unit initialisation"
    single cycinit( n )   single n;
    a = cycinit( n );
    Es werden die statischen Variablen q, r, s usw.
    initialisiert.
    Diese Funktion MUSS vor jeder anderen aufgerufen werden.
    Falls n mehr als 3 verschiedene Primfaktoren besitzt
    oder kongruent 2 mod 4 ist, wird a=0, sonst a=1.
    Wird die Funktion mit n = 0 aufgerufen, so werden die
    Werte fuer q, r und s explizit vom Benutzer abgefragt.
C*/
cycinit(n)
    single n;
{
    single lL, e;
    list L;

bind(L);
L_111 = 0;
if (n == 0) {
printf(" q, r, s = ?\n");
q = getsi();
r = getsi();
s = getsi();
n = q * r * s;
printf("n = %d\n", n);
}
/* Abfrage: n = 2 mod 4       */
if (iaval(2, n) == 1) {
return (0);
}
L = sfact(n);
L = ifel(L);

lL = llength(L);
/* Abfrage: n mehr als drei P-Teiler */
if (lL > 6) {
return (0);
}
if (L != _0) {
sT = lfirst(L);
L = lred(L);
e = lfirst(L);
L = lred(L);
} else
sT = 1, e = 1;
s = sexp(sT, e);
sB = s / sT;
if (L != _0) {
rT = lfirst(L);
L = lred(L);
e = lfirst(L);
L = lred(L);
} else
rT = 1, e = 1;

r = sexp(rT, e);
rB = r / rT;
if (L != _0) {
    qT = lfirst(L);
    L = lred(L);
    e = lfirst(L);
    L = lred(L);
} else
    qT = 1, e = 1;
q = sexp(qT, e);
qB = q / qT;
return (1);
}
/* unwichtige Hilfsfunktion: */
/*C
u_decomp(u, tT, ptR, puu)
"u decomposition"
single u_decomp(u, tT, ptR, puu) single u, tT, *ptR, *puu;
s = u_decomp(u, tT, ptR, puu);
Es muss gelten: tT teilt u, tT ist Primzahl.
Es gilt: u = tT * *ptR * *puu
C*/
single u_decomp(u, tT, ptR, puu)
single u, tT, *ptR, *puu;
{
single w;
w = iaval(tT, u);
*ptR = sexp(tT, w - 1);
*puu = u / (*ptR * tT);
return (1);
}

/* Interne Darstellung eines Elements als Liste:
( exponent, x, y, z ) <=> ( 1 - e_q^x e_r^y e_s^z )^exponent  */

/*C
    cycevalo( C )
"cyclotomic unit evaluation once"
list cycevalo( C )   cyc C;
L = cycevalo( C );
Die zyklotomische Einheit C wird einmal gemaess
den Relationen aus der Diplomarbeit entwickelt.
Ist also L = ( A1, A2,... ,An ), dann gilt
C = A1 * A2 * ... * An.
C*/
list cycevalo(C)
cyc C;
{
single e, x, y, z;
single xx, yy, zz;
single xE, yE, zE;
/*     xE := x Ergebnis      */
single qR, rR, sR;
/* qR : restliche q - Potenz   */
cyc E;
single i;
list L;
init(L, E);
bind(C);
e = lfirst(C);
x = lsecond(C);
y = lthird(C);
z = lfourth(C);
/* Entwicklung von Elementen, die nicht in E^(n) liegen */
if (x && x % qT == 0) {
    u_decomp(x, qT, &qR, &xx);
    L = _0;

yE = mshoms(r, y * qT);
zE = mshoms(s, z * qT);
for (i = 0; i < qT; i++) {
    xE = xx * qR + i * qB;
    xE = mshoms(q, xE);
    E = list4(e, xE, yE, zE);
    L = lcomp(E, L);
}
} else if (y && y % rT == 0) {
u_decomp(y, rT, &rR, &yy);
L = _0;
xE = mshoms(q, x * rT);
zE = mshoms(s, z * rT);
for (i = 0; i < rT; i++) {
    yE = yy * rR + i * rB;
    yE = mshoms(r, yE);
    E = list4(e, xE, yE, zE);
    L = lcomp(E, L);
}
} else if (z && z % sT == 0) {
u_decomp(z, sT, &sR, &zz);
L = _0;
xE = mshoms(q, x * sT);
yE = mshoms(r, y * sT);
for (i = 0; i < sT; i++) {
    zE = zz * sR + i * sB;
    zE = mshoms(s, zE);
    E = list4(e, xE, yE, zE);
    L = lcomp(E, L);
}
}
/* ''Ab hier koennen wir uns auf P-Teiler beschraenken'' */
/* Normierung auf zwei Komponenten > 0  bei qrs
bzw. Auswahl einer der Mengen x>0 y<0 usw. bei zwei
P-Teilern etc.                                          */
/* Torsionsanteil                                       */
else if ((x <= 0 && y <= 0 && z <= 0) ||
 (x > 0 && y < 0 && z < 0) ||
 (x < 0 && y > 0 && z < 0) ||
 (x < 0 && y < 0 && z > 0) ||
 (x == 0 && y < 0 && z >= 0) ||
 (x < 0 && y >= 0 && z == 0) ||

 (x >= 0 && y == 0 && z < 0)
) {
E = list4(e, -x, -y, -z);
L = list1(E);
}
/* Durch N_q induzierte Relationen   */
else if ((x == 1 && y > 0 && z == 0) ||
 (x == 1 && y == 0 && z > 0) ||
 (x == 1 && y > 1 && z > 1) ||    /* A_1  */
 (x == 1 && y > 0 && z < -1) ||    /* A_6  */
 (x == 1 && y == 1 && z > 1) ||    /* A_9  */
 (x == 1 && y > 1 && z == -1)    /* A_12 */
) {
yE = mshoms(r, q * y);
zE = mshoms(s, q * z);
C = list4(e, 0, yE, zE);
L = list1(C);
yE = mshoms(r, qB * y);
zE = mshoms(s, qB * z);
C = list4(-e, 0, yE, zE);
L = lcomp(C, L);
for (i = 2; i < q; i++)
    if (i % qT) {
        xE = mshoms(q, i);
        C = list4(-e, xE, y, z);
        L = lcomp(C, L);
    }
}
/* Durch N_r induzierte Relationen        */
else if ((x > 0 && y == 1 && z == 0) ||
 (x == 0 && y == 1 && z > 0) ||
 (x > 1 && y == 1 && z > 1) ||    /* A_2 */
 (x < -1 && y == 1 && z > 0) ||    /* A_4 */
 (x > 1 && y == 1 && z == 1) ||    /* A_7 */
 (x == -1 && y == 1 && z > 1)    /* A_10 */
) {

xE = mshoms(q, r * x);
zE = mshoms(s, r * z);
C = list4(e, xE, 0, zE);
L = list1(C);
xE = mshoms(q, rB * x);
zE = mshoms(s, rB * z);
C = list4(-e, xE, 0, zE);
L = lcomp(C, L);
for (i = 2; i < r; i++)
    if (i % rT) {
        yE = mshoms(r, i);
        C = list4(-e, x, yE, z);
        L = lcomp(C, L);
    }
}
/* Durch N_s induzierte Relationen  */
else if ((x > 0 && y == 0 && z == 1) ||
 (x == 0 && y > 0 && z == 1) ||
 (x > 1 && y > 1 && z == 1) ||    /* A_3   */
 (x > 0 && y < -1 && z == 1) ||    /* A_5   */
 (x == 1 && y > 1 && z == 1) ||    /* A_8   */
 (x > 1 && y == -1 && z == 1)    /* A_11  */
) {
xE = mshoms(q, s * x);
yE = mshoms(r, s * y);
C = list4(e, xE, yE, 0);
L = list1(C);
xE = mshoms(q, sB * x);
yE = mshoms(r, sB * y);
C = list4(-e, xE, yE, 0);
L = lcomp(C, L);
for (i = 2; i < s; i++)
    if (i % sT) {

        zE = mshoms(s, i);
        C = list4(-e, x, y, zE);
        L = lcomp(C, L);
    }
}
/* Die  Menge A_13                  */
else if (x == -1 && y == 1 && z == 1) {
yE = mshoms(r, q * y);
zE = mshoms(s, q * z);
C = list4(e, 0, yE, zE);
L = list1(C);
yE = mshoms(r, qB * y);
zE = mshoms(s, qB * z);
C = list4(-e, 0, yE, zE);
L = lcomp(C, L);
for (i = -2; i > -q; i--)
    if (i % qT) {
        xE = mshoms(q, i);
        C = list4(-e, xE, y, z);
        L = lcomp(C, L);
    }
} else if (x == 1 && y == -1 && z == 1) {
xE = mshoms(q, r * x);
zE = mshoms(s, r * z);
C = list4(e, xE, 0, zE);
L = list1(C);
xE = mshoms(q, rB * x);
zE = mshoms(s, rB * z);
C = list4(-e, xE, 0, zE);
L = lcomp(C, L);
for (i = -2; i > -r; i--)
    if (i % rT) {
        yE = mshoms(r, i);
        C = list4(-e, x, yE, z);
        L = lcomp(C, L);

    }
} else if ((x == 1 && y == 1 && z == -1)) {
xE = mshoms(q, s * x);
yE = mshoms(r, s * y);
C = list4(e, xE, yE, 0);
L = list1(C);
xE = mshoms(q, sB * x);
yE = mshoms(r, sB * y);
C = list4(-e, xE, yE, 0);
L = lcomp(C, L);
for (i = -2; i > -s; i--)
    if (i % sT) {
        zE = mshoms(s, i);
        C = list4(-e, x, y, zE);
        L = lcomp(C, L);
    }
}
/* Das 111 - Element     */
else if ((x == 1 && y == 1 && z == 1)) {
single j, k;
list M;
/*    Zunaechst Darstellung von ( 2, 1, 1, 1 )      */
/*     (zuerst  nur  durch irgendeine Liste  L)     */
init(M);
if (L_111 != 0)
    M = L_111;
else {
    L = _0;
    for (i = 1; i <= q / 2; i++)
        if (i % qT)
            for (j = 1; j <= r / 2; j++)
                if (j % rT)
                    for (k = 1; k <= s / 2; k++)
   if (k % sT && !(i == 1 && j == 1 && k == 1)) {
                            C = list4(-2, i, j, k);
                            L = lcomp(C, L);

    }
for (i = 1; i <= q / 2; i++)
if (i % qT)
for (j = 1; j <= r / 2; j++)
if (j % rT) {
xE = mshoms(q, s * i);
yE = mshoms(r, s * j);
C = list4(1, xE, yE, 0);
L = lcomp(C, L);
xE = mshoms(q, sB * i);
yE = mshoms(r, sB * j);
C = list4(-1, xE, yE, 0);
L = lcomp(C, L);
}
for (i = 1; i <= q / 2; i++)
if (i % qT)
for (k = 1; k <= s / 2; k++)
if (k % sT) {
xE = mshoms(q, r * i);
zE = mshoms(s, r * k);
C = list4(1, xE, 0, zE);
L = lcomp(C, L);
xE = mshoms(q, rB * i);
zE = mshoms(s, rB * k);
C = list4(-1, xE, 0, zE);
L = lcomp(C, L);
}
for (j = 1; j <= r / 2; j++)
if (j % rT)
for (k = 1; k <= s / 2; k++)
if (k % sT) {
yE = mshoms(r, q * j);
zE = mshoms(s, q * k);
C = list4(1, 0, yE, zE);
L = lcomp(C, L);
yE = mshoms(r, qB * j);
zE = mshoms(s, qB * k);
C = list4(-1, 0, yE, zE);
L = lcomp(C, L);
}
/* Entwicklung von L: */

M = lcyceval(L);
L_111 = M;
}
L = _0;
/* Division jedes Exponenten durch 2, um Darstellung von  */
/* ( 1, 1, 1, 1 ) zu erhalten                            */
while (M != _0) {
single ee;
C = lfirst(M);
M = lred(M);
ee = lfirst(C);
xE = lsecond(C);
yE = lthird(C);
zE = lfourth(C);
ee = ee / 2;
C = list4(e * ee, xE, yE, zE);
L = lcomp(C, L);
}
}
/* C ist Basiselement (das heisst nicht entwickelbar) */
else
L = list1(C);
return (L);
}
/*C
lcyccollect( L )
"list of cyclotomic units collection"
list lcyccollect( L )   cyc L;
K = lcyccollect( L );
Es werden gleiche Elemente in L zu einem
Element zusammengefasst, dabei wird
der Exponent veraendert. Ist der Exponent
dieses Elementes Null, wird es weggelassen.
Kommt jedes Element in L genau einmal vor,

ist K = L.
C*/
list lcyccollect(L)
list L;
{
list N, K;
cyc C, D, E;
single exp;
bind(L);
init(N, K, C, D, E);
K = _0;
while (L != _0) {
    C = lfirst(L);
    exp = lfirst(C);
    C = lred(C);
    N = lred(L);
    L = _0;
    while (N != _0) {
        D = lfirst(N);
        N = lred(N);
        if (oequal(lred(D), C)) {
            exp += lfirst(D);
        } else
            L = lcomp(D, L);
    }
    L = linv(L);
    if (exp)
        K = lcomp(lcomp(exp, C), K);
}
return (linv(K));
}

/*C
    lcycevalo( L )
"list of cyclotomic units evaluation once"
list lcycevalo( L )   list L;
K = lcycevalo( L );

Fuer jedes Element C in L wird
cycevalo( C ) aufgerufen, und die Ergebnisse
werden in eine Liste geschrieben.
C*/
list lcycevalo(L)
list L;
{
list K, M;
cyc C;
bind(L);
init(K, M, C);
K = _0;
while (L != _0) {
    C = lfirst(L);
    L = lred(L);
    M = cycevalo(C);
    K = lconc(K, M);
}
return (K);
}
/*C
    lcyceval( L )
"list of cyclotomic units evaluation"
list lcyceval( L )   list L;
K = lcyceval( L );
L wird als Produkt von Basiselementen
dargestellt.
K enthaelt diese Basiselemente.
C*/
list lcyceval(L)
list L;
{

list M;
single i = 0;
bind(L);
init(M);
while (!oequal(L, M)) {
    M = L;
    L = lcycevalo(L);
    L = lcyccollect(L);
}
return (L);
}
/*C
    cyceval( C )
"cyclotomic unit evaluation"
list cyceval( C )   cyc C;
K = cyceval( C );
C wird als Produkt von Basiselementen
dargestellt.
K enthaelt diese Basiselemente.
C*/
list cyceval(C)
cyc C;
{
int L;
bind(C);
L = lcyceval(list1(C));
return (L);
}

/*C
    iscycbasel( C )
"is cyclotomic unit base element ?"

single  iscycbasel( C )   cyc C;
a = iscycbasel( C );
a = 1 falls C Basiselement ist,
a = 0 sonst.
C*/

iscycbasel(C)
cyc C;
{
list L;
cyc D;
bind(C, D);
init(L);
L = cycevalo(C);
D = lfirst(L);
if (oequal(C, D))
    return (1);
else
    return (0);
}

/*C
    cycbasecons( )
"cyclotomic units base construction"
list  cycbasecons();
L = cycbasecons();
L ist eine Liste, die alle Basiselemente enthaelt.
Achtung: ( e, 2, 0, 0 ) muss als Einheit
( ( e, 2, 0, 0 ), ( -e, 1, 0, 0 ) ) usw.
interpretiert werden.
C*/

list cycbasecons()
{

single i, j, k;
single phi, anz, zae;
single x, y, z;
cyc C;
list L;
init(C, L);
zae = 0;
phi = iphi(q) * iphi(r) * iphi(s);
anz = phi / 2 - 1;
L = _0;
for (i = 0; i < q; i++)
    for (j = 0; j < r; j++)
        for (k = 0; k < s; k++)
            if (i + j + k > 1) {
                x = mshoms(q, i);
                y = mshoms(r, j);
                z = mshoms(s, k);
                C = list4(1, x, y, z);
                if (iscycbasel(C)) {
                    zae++;
                    L = lcomp(C, L);
                }
            }
return (L);
}
/* Es folgen diverse Prozeduren, um einen Ausdruck in
TeX-Code zu ermoeglichen */
/* x = pp * xx mit p teilt nicht xx */
spsep(p, x, pp, xx)
single x, p, *pp, *xx;
{
*pp = 1;
*xx = x;
while (!(*xx % p)) {
    *xx /= p;
    *pp *= p;
}
return (0);

}
putepsTeX(sub, pot)
single sub, pot;
{
if (sub == 1 || pot == 0)
    printf("  ");
else if (pot == 1)
    printf("\\ep_{%2d} ", sub);
else
    printf("\\ep_{%2d}^{%2d} ", sub, pot);
return (0);
}
putcycTeX(C, klammer)
cyc C;
single klammer;
{
single x, y, z, e, xx, yy, zz, qq, rr, ss;
bind(C);
e = lfirst(C);
x = lsecond(C);
y = lthird(C);
z = lfourth(C);
LN_SIZE = BASIS;
if (x)
    spsep(qT, x, &qq, &xx);
else
    qq = q, xx = 1;
if (y)
    spsep(rT, y, &rr, &yy);
else
    rr = r, yy = 1;
if (z)
    spsep(sT, z, &ss, &zz);
else
    ss = s, zz = 1;
if (klammer || e != 1)
    printf("(");

else
    printf(" ");
printf("1 - ");
putepsTeX(q / qq, xx);
putepsTeX(r / rr, yy);
putepsTeX(s / ss, zz);
if (e != 1)
    printf(")^{%2d}", e);
else if (klammer)
    printf(")\\; ");
else
    printf("\\; ");
printf("%% (%d,%d,%d ) \n", x, y, z);
return (0);
}

putlcycTeX(L)
list L;
{
cyc C;
single klammer, x, y, z, e, h, zaehl;
bind(L);
init(C);
if (llength(L) <= 1)
    klammer=0;
else
    klammer=1;
zaehl=0;
while (L != _0) {
    C = lfirst(L);
    L = lred(L);
            if ( !(zaehl % 3) && zaehl ) {
            printf("\\\\ & & %% \n");
            }
    zaehl++;
    putcycTeX(C, klammer);
}
return (0);

}
TeXlcyceval(K)
list K;
{
list L;
single n;
bind(K);
init(L);
L = lcyceval(K);
putlcycTeX(K);
printf(" &\\eqt &\n");
putlcycTeX(L);
printf("\\\\ \n" );
return (0);
}
#define ppot( P, X ) ( spsep( P, X, &NUM, &DUM ), NUM )
/* Hauptprogramm                                 */
main()
{
list L;
single n;
cyc C, D;
single u, e, i, j, k, x, y, z;
init(L, C, D, L_111);

printf("n = ? \n");
n = getsi();
printf(" n = %d\n", n);
cycinit(n);
printf("%%    BASIS:     \n%% \n");
L = cycbasecons();
    printf("\\begin{eqnarray*} & & %%   \n");

    putlcycTeX(L);
    printf("\\end{eqnarray*} %%   \n");
    printf("\\par   %%   \n");
    printf("\\begin{eqnarray*} %%   \n");
    for (i = 0; i < q; i++)
     for (j = 0; j < r; j++)
      for (k = 0; k < s; k++) if (i + j + k > 0) {
       x = mshoms(q, i);
       y = mshoms(r, j);
       z = mshoms(s, k);
       C = list4(1, x, y, z);
       if ( !x && !y ) D = list4(-1, x, y, ppot( sT, z) );
       else if ( !x && !z ) D = list4(-1, x,   ppot( rT, y), z );
       else if ( !y && !z ) D = list4(-1, ppot( qT, x), y, z );
       else D = _0;
       if ( D == _0 ) L = list1( C );
       else L = list2( C, D );
       if (!iscycbasel(C)) {
            TeXlcyceval(L);
             printf("%%\n%%\n");
            }
       }
    printf("\\end{eqnarray*} %%   \n");
    printf("\n\n ok.\n");
}

Beim Start des mit Hilfe der SIMATH-Oberfläche compilierten Programms und mit der Eingabe n = 15 wird folgende Ausgabe geliefert:

n = ?
 n = 15
%    BASIS:
%
\begin{eqnarray*} & & %
(1 -   \ep_{ 3} \ep_{ 5}^{-1} )\; % (0,1,-1 )
(1 -   \ep_{ 3} \ep_{ 5}^{-2} )\; % (0,1,-2 )
(1 -     \ep_{ 5}^{ 2} )\; % (0,0,2 )
\end{eqnarray*} %
\par   %
\begin{eqnarray*} %
(1 -     \ep_{ 5}^{-2} )\; % (0,0,-2 )
(1 -     \ep_{ 5} )^{-1}% (0,0,1 )

 &\eqt &
(1 -     \ep_{ 5}^{ 2} )\; % (0,0,2 )
(1 -     \ep_{ 5} )^{-1}% (0,0,1 )
\\
%
%
(1 -     \ep_{ 5}^{-1} )\; % (0,0,-1 )
(1 -     \ep_{ 5} )^{-1}% (0,0,1 )
 &\eqt &
\\
%
%
 1 -   \ep_{ 3} \ep_{ 5} \; % (0,1,1 )
 &\eqt &
(1 -   \ep_{ 3} \ep_{ 5}^{-1} )^{-1}% (0,1,-1 )
(1 -     \ep_{ 5} )^{-1}% (0,0,1 )
(1 -     \ep_{ 5}^{ 2} )\; % (0,0,2 )
\\
%
%
 1 -   \ep_{ 3} \ep_{ 5}^{ 2} \; % (0,1,2 )
 &\eqt &
(1 -   \ep_{ 3} \ep_{ 5}^{-2} )^{-1}% (0,1,-2 )
(1 -     \ep_{ 5}^{ 2} )^{-1}% (0,0,2 )
(1 -     \ep_{ 5} )\; % (0,0,1 )
\\
%
%
(1 -   \ep_{ 3}^{-1}   )\; % (0,-1,0 )
(1 -   \ep_{ 3}   )^{-1}% (0,1,0 )
 &\eqt &
\\
%
%
 1 -   \ep_{ 3}^{-1} \ep_{ 5} \; % (0,-1,1 )
 &\eqt &
 1 -   \ep_{ 3} \ep_{ 5}^{-1} \; % (0,1,-1 )
\\
%
%
 1 -   \ep_{ 3}^{-1} \ep_{ 5}^{ 2} \; % (0,-1,2 )
 &\eqt &
 1 -   \ep_{ 3} \ep_{ 5}^{-2} \; % (0,1,-2 )
\\

%
%
 1 -   \ep_{ 3}^{-1} \ep_{ 5}^{-2} \; % (0,-1,-2 )
 &\eqt &
(1 -   \ep_{ 3} \ep_{ 5}^{-2} )^{-1}% (0,1,-2 )
(1 -     \ep_{ 5}^{ 2} )^{-1}% (0,0,2 )
(1 -     \ep_{ 5} )\; % (0,0,1 )
\\
%
%
 1 -   \ep_{ 3}^{-1} \ep_{ 5}^{-1} \; % (0,-1,-1 )
 &\eqt &
(1 -   \ep_{ 3} \ep_{ 5}^{-1} )^{-1}% (0,1,-1 )
(1 -     \ep_{ 5} )^{-1}% (0,0,1 )
(1 -     \ep_{ 5}^{ 2} )\; % (0,0,2 )
\\
%
%
\end{eqnarray*} %

 ok.

*** 0  GC in    0.0  Sekunden haben     0 Zellen angefordert. ***
*** Es sind noch   15799  Zellen in insgesamt  1  Block frei. ***
*** Blockgroesse BL_SIZE: 16383;  Stackgroesse ST_SIZE:  500. ***
*** Es  wurden       0.33   Sekunden  Rechenzeit  verbraucht. ***

Die Anweisung \eqt muß als Anweisung definiert werden, die die Interpretation “Gleichheit modulo Torsion” zuläßt (in unserem Fall “ =^{tor} ” ). Die Anweisung \ep ist eine Abkürzung für \epsilon ( ϵ ). In der Darstellung der Basis wird statt der vollständigen Formulierung (1 − ϵ_{5}^{2}) (1 − ϵ_{5})^{−1} nur (1−ϵ_{5}^{2}) ausgegeben. Der zu der obigen Ausgabe gehörige geTEX-te Text sieht wie folgt aus (dabei wurden die ersten Zeilen sowie die Schlußmeldung weggelassen, ansonsten ist der Rest unredigiert):

(1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−1}) (1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−2}) (1 − ϵ_{5}^{2})

(1 − ϵ_{5}^{−2}) (1 − ϵ_{5})^{−1} =^{tor} (1 − ϵ_{5}^{2}) (1 − ϵ_{5})^{−1}
(1 − ϵ_{5}^{−1}) (1 − ϵ_{5})^{−1} =^{tor}

1 − ϵ_{3}ϵ_{5} =^{tor} (1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−1})^{−1}(1 − ϵ_{5})^{−1}(1 − ϵ_{5}^{2})
1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{2} =^{tor} (1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−2})^{−1}(1 − ϵ_{5}^{2})^{−1}(1 − ϵ_{5})
(1 − ϵ_{3}^{−1}) (1 − ϵ_{3})^{−1} =^{tor}
1 − ϵ_{3}^{−1}ϵ_{5} =^{tor} 1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−1}
1 − ϵ_{3}^{−1}ϵ_{5}^{2} =^{tor} 1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−2}
1 − ϵ_{3}^{−1}ϵ_{5}^{−2} =^{tor} (1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−2})^{−1}(1 − ϵ_{5}^{2})^{−1}(1 − ϵ_{5})
1 − ϵ_{3}^{−1}ϵ_{5}^{−1} =^{tor} (1 − ϵ_{3}ϵ_{5}^{−1})^{−1}(1 − ϵ_{5})^{−1}(1 − ϵ_{5}^{2})

Literaturverzeichnis

Bass, Hyman: The Dirichlet unit theorem, induced characters and Whitehead

groups of finite groups. In: Topology (1966), Vol. 4, 391-410. Endl, Kurt/Luh, Wolfgang: Analysis III, eine integrierte Darstellung. Akademis-

che Verlagsgesellschaft, Wiesbaden 1976. Franz, Wolfgang: Über die Torsion einer Überdeckung. In: Journal für die

reine und angewandte Mathematik 173 (1935), 245-254. Frey, Gerhard: Elementare Zahlentheorie. Vieweg, Braunschweig 1984. Hasse, Helmut: Zahlentheorie. Akademie Verlag, Berlin 1963. Ireland, Kenneth/Rosen, Michael: A classical Introduction to Modern Num-

ber Theory. Springer-Verlag, New-York 1982. Karpilovsky, Gregory: Commutative group algebras. Marcel Dekker, inc.,

New York 1983. Lang, Serge: Algebra. Addison-Wesley Publishing Company, Reading,

Massachusetts 1974. Ramachandra, K.: On the units of cyclotomic fields. In: Acta Arithmetica

12 (1966), 165-173. Serre, Jean-Pierre: Cours d’arithmétique. Presses Universitaires de France,

Paris 1970. Washington, Lawrence C.: Introduction to Cyclotomic Fields. Springer-

Verlag, New York 1982. Weiss, E.: Algebraic number theory. McGraw-Hill, New York 1963. Zassenhaus, Hans: Über die Existenz von Primzahlen in arithmetischen Pro-

gressionen. In: Commentarii Mathematici Helvetici 22 (1949), S.232-259.